Об особенностях подсчёта голосов. Часть V

Часть I избирательная явка и действительные голоса
Часть II эквивалентность подсчёта
Часть III электоральный барьер
Часть IV метод Бадера-Офера
Часть V преимущество больших списков
Часть VI реальный пример


Как известно, на выборах 22 января мы выбирает законодательную власть, не исполнительную. Тут я написал краткий путеводитель по израильской политической карте. Тут мы разобрались кто формирует правительство после выборов в Кнессет.

Мы разобрались с избирательной явкой и действительными голосами в первой части, в третьей части разобрались с электоральным барьером, а во-второй доказали эквивалентность утверждений, что недействительный голос был выброшен в мусорное ведро и пропорционально распределён между всеми партиями, прошедшими электоральный барьер.

Четвёртая часть была посвящена методу Бадера-Офера об остаточном распределении мандатов. Эта часть является по-сути продолжением предыдущей.

В этой заметке я приведу доказательство, почему метод Бадера-Офера даёт предпочтение крупным спискам.


Ниже есть продолжение.

Перед тем, как предоставить доказательство в общем виде я приведу данные с примера 2, приведённые в четврётой части.

Пример. Допустим у нас есть три партии, и нет между ними ни одного договора о распределении остаточных голосов. Ниже представлена таблица, после того, как были выброшены все недействительные голоса, а также голоса, поданные за все списки, не прошедшие электоральный барьер. Итак, допустим мы имеем

A - 901 000
B - 203 000
C - 96 000

всего 1 200 000 голосов, которые нужно пропорционально распределить между этими тремя партиями таким образом, чтобы в сумме было 120 мандатов.

По закону о выборах, с учётом поправки Бадера-Офера, считаем сначала электоральный коэффициент одного парламентского мандата. Он равен $\frac{1 200 000}{120}$=10 000 голосов за 1 мандат ровно.

Таким образом, партия A получает
A - $\frac{901 000}{10 000}$=90+0,1
B - $\frac{203 000}{10 000}$=20+0,3
C - $\frac{96 000}{10 000}$=9+0,6

Всего распределили 90+20+9=119 (целых) мандатов, осталось распределить ещё 1 мандат.

Легко видеть, что $\frac{901 000}{90} \approx \frac{203 000}{20} \approx \frac{96 000}{9} \approx 10 000$

Или, что тоже самое, $\frac{90}{901 000} \approx \frac{20}{203 000} \approx \frac{9}{96 000} \approx \frac{1}{10 000}$


Если мы делаем перерасчет "цены" 1 мандата, если бы каждая из них получила бы ещё 1 мандат

A - $\frac{901 000}{90+1}$=9901 и ещё чуть-чуть.
B - $\frac{203 000}{20+1}$=9666 и ещё чуть-чуть.
C - $\frac{96 000}{9+1}$=9600 ровно

Таким образом, "аукцион" выигрывает партия A, так как в этом случае "цена мандата" будет наивысшей (и ближе всего к "теоретической").


$\frac{90+1}{901 000}=\frac{90}{901 000}+\frac{1}{901 000} \approx \frac{1}{10 000} + \frac{1}{901 000}$

$\frac{20+1}{203 000}=\frac{20}{203 000}+\frac{1}{203 000} \approx \frac{1}{10 000} + \frac{1}{203 000}$

$\frac{9+1}{96 000}=\frac{9}{96 000}+\frac{1}{96 000} \approx \frac{1}{10 000} + \frac{1}{96 000}$

Отсюда

A - $\frac{901 000}{90+1} \approx \frac{1}{\frac{1}{10 000} + \frac{1}{901 000}}$
B - $\frac{203 000}{20+1} \approx \frac{1}{\frac{1}{10 000} + \frac{1}{203 000}}$
C - $\frac{96 000}{20+1} \approx \frac{1}{\frac{1}{10 000} + \frac{1}{96 000}}$

Т.к. $\frac{1}{901 000}$ "ближе к нулю" чем $\frac{1}{203 000}$, которое с свою очередь "ближе к нулю" чем $\frac{1}{96 000}}$, то легко видит, что выражение для партии "ближе всех к 10 000. Т.е. у списка, за который было отдано наибольшее количество голосов, есть преимущество при подсчёте по системе Бадера-Офера.

Доказательство.
Итак, обозначим за A количество голосов, поданную за партию, набравшие их максимальное количество, за B - количество голосов поданную за другую партию

(1) $A \geq B>0$

Обозначим за x десятичное (точное) представление количества мандатов, которое получила партия A в результате первой фазы подсчёта, y - то же для партии B.
Имеем,

$\frac{A}{B}=\frac{x}{y}$ (точное равенство)

Теперь "вспомним", что мандаты суть целые числа. Обозначим k=[x], m=[y], где [.] обозначает целую часть числа (для целых положительных чисел, коими являются x и y, это максимум из всех чисел которые меньше или равны x (или y)). Если мы вместо x и y подставим их целые части, то мы получим приблизительное равенство:

(2) $\frac{A}{B} \approx \frac{k}{m}$

Нужно доказать, что дополнительный мандат по методу Бадера-Офера получит партия A, т.е. нужно доказать, что

$\frac{A}{k+1} \geq \frac{B}{m+1}$

Т.к. все входящие числа в неравенство положительные, это эквивалентно тому, что доказать, что

$\frac{k+1}{A} \leq \frac{m+1}{B}$

На самом деле мы докажем более слабую версию:

(*) $\frac{k+1}{A}$ ≲ $\frac{m+1}{B}$ (меньше или примерно равно)

Перечитаем формулировку утверждения:
У списка, за который было отдано наибольшее количество голосов, есть преимущество при подсчёте по методу Бадера-Офера. Обратим внимание, на слово преимущество в формулировке. Оно означает, что мы не утверждаем, что всегда более крупный список будет в выигрыше от применения метода Бадера-Офера, а лишь, что есть преимущество. Поэтому доказательства (*) достаточно для доказательства нашего утверждения.

Итак, дано:

(1) $A \geq B>0$

(2) $\frac{A}{B} \approx \frac{k}{m}$

Все числа целые положительные.

Нужно доказать, что

(*) $\frac{k+1}{A}$ ≲ $\frac{m+1}{B}$ (меньше или примерно равно)


Из неравенства (1) следует

(1.1) $\frac{1}{A} \leq \frac{1}{B}$

Из неравенства (2) следует $kB \approx Am$, отсюда

(2.1) $\frac{k}{A} \approx \frac{m}{B}$

Тогда

$\frac{k+1}{A}=\frac{k}{A}+\frac{1}{A} \approx$ (2.1) $\frac{m}{B}+\frac{1}{A} \leq$ (1.1) $\frac{m}{B}+\frac{1}{B}=\frac{m+1}{B}$

Что и требовалось доказать.

Продолжение следует.