http://www.youtube.com/watch?v=E5cstffGFjo (removed)
http://www.youtube.com/watch?v=jhhXy8TITqM (removed)
Dailymotion. Видео. Часть I
Dailymotion. Видео. Часть II
Dailymotion. Видео. Часть III
Dailymotion. Видео. Часть IV
Dailymotion. Видео. Часть V
Этот пост я должен был довести до ума давно. Вcе части:
Dangerous Knowledge
Dangerous Knowledge - Бесконечное множество и интуиция.Часть I
Dangerous Knowledge - Парадокс брадобрея. Часть II
Dangerous Knowledge - Диагональный метод доказательства Кантора. Часть III
Dangerous Knowledge - Континуум-гипотеза. Часть IV
Dangerous Knowledge - Аксиома выбора. Часть V
Dangerous Knowledge - Теория меры. Часть VI
Dangerous Knowledge - Тест Тьюринга. Часть VII
Прикоснуться к бесконечности
Как я уже говорил, есть некоторые вещи, которые явно не раскрыты в этой доке. Здесь, я продолжу писать про Кантора. Далее, в фильме вскользь упоминалась continuous hypothesis, континуум-гипотеза о которой я расскажу в этом посте.
Ниже есть продолжение.
Неформально говоря оно говорит о следующем. Рассмотрим отрезок действительных чисел, скажем $[0, 1)$. В прошлой части мы доказали, что это множество несчётно, т.е. "количество чисел" в $[0, 1)$ больше, чем натуральных чисел. Но насколько больше? Континуум-гипотеза предлагает ответ на этот вопрос.
Возьмём любое его подмножество. Континуум-гипотеза говорит, что мощность ("количество элементов") этого подмножества либо такое же как у всего множества $[0, 1)$ либо такое же как у натурального ряда. Иначе говоря оно либо континуально либо счётно. Другими словами, не существует такого множества, чья мощность строго больше мощности натуральных чисел и строго меньше мощности действительных чисел (континуума).
Более формально, континуум-гипотеза утверждает, что множество действительных чисел имеет минимально возможную мощность, которая строго больше мощности натуральных чисел. Или, что тоже самое, т.к. мощность натуральных чисел есть $\aleph_0$, а мощность действительных чисел есть $2^{\aleph_0}$ (доказывается при помощи диагонального аргумента Кантора и ещё одного маленького трюка), континуум-гипотеза утверждает, что не существует такого множества $A$, чья мощность лежит строго между $\aleph_0$ и ${\mathfrak c}$
$\neg {\exists A}, \aleph_0 < |A| < \mathfrak c.$
Предполагая аксиому выбора, существует минимальное кардинальное число $\aleph_1$ которое строго больше, чем $\aleph_0$, и в таком случае континуум-гипотеза эквивалентна утверждению
$2^{\aleph_0} = \aleph_1.$
Существует также обобщение континуум-гипотезы, которая называется обобщённой континуум-гипотезы, которая говорит, что для всех ординалов $\alpha$
$2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}.$
Следствием континуум-гипотезы является то, что любое бесконечное подмножество действительных чисел имеет мощность натуральных чисел либо имеет мощность всей действительной прямой.
Верна или нет эта гипотеза? Какое влияние это может оказать на основы математики?
Пока вы будете размышлять над этими вопросами, я сделаю небольшое лирическое отступление. Континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта. Во втором десятилетии XX века Давид Гильберт был признанным мировым лидером математиков. В 1900 г. в Париже выступая на II Международном Конгрессе математиков Гильбет представил список из 23 кардинальных проблем математики. Решение этих проблем оказало существенное влияние на математиков XX века. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами. Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. В 2000 году был представлен новый список из семи математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из этих проблем институтом Клэя предложен приз в 1 000 000 долларов США. Интересно отметить, что одна из "проблема Гильберта", а именно гипотеза Римана вошла в новый список. Одна из проблем этого нового списка, а именно гипотеза Пуанкаре была доказана в 2002 году российским математиком Григорием Перельманом.
Как оказалось, вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза или нет, не такой простой как кажется. По форме он напоминает шекспировский вопрос "быть или нет быть" - to be or not to be. Некоторые, даже "поправляют" Шекспира, настаивая на том, что вместо or (включающие ИЛИ) должно быть написано xor (исключающие ИЛИ) - to be xor not to be, так как невозможно и "быть" и "не быть" одновременно. Можно, конечно, вспомнить и кота Шрёдингера, но тогда мы уж слишком далеко уйдём в сторону.
Так вот, как оказалось ответ на вопрос, нет не Шекспира, верна или нет континуум-гипотеза или нет - none of the above - ни то, ни другое. Нет, "квантовые эффекты" (суперпозиция) тут не причём.
Дело тут вот в том, в каком контексте или универсуме мы пытаемся ответить на этот вопрос. Возьмём совсем простой пример. Подойдите к второкласснику и спросите, сколько будет один минус два. Он вам не сможет дать "правильный" ответ, т.к. он не знает ещё отрицательных чисел. В его "универсуме" правильный ответ: "нет такого числа". И действительно, множество натуральных чисел, известное второкласснику незамкнуто относительно вычитания. Замыкание этого множества даёт множество целых чисел или другой, ваш, универсуме. В этом контексте, правильный ответ "минус один". Ещё раз, оба ответа верны, зависит от того в каком контексте их рассматривать.
Какой же контекст нашего вопроса о верности континуум-гипотезы? Очевидно, что нашим универсумом будет теория множества. В "наивной теории множеств" мы встречаемся с парадоксами типа парадокса Брадобрея. Для того, чтобы избежать этих парадоксов, Гильбер и ряд математиков приняли ряд попыток строго обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение противоречий. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Одной из такой аксиоматик является системе аксиом Цермело — Френкеля (ZF). Вот это и есть наш "контекст второклассника."
Перед тем как продолжить нужно сказать пару слов, что значит "быть верным/неверным", и "быть доказуемым/недоказуемым" в любой аксиоматизированной теории. Быть верным обозначает, что некоторое логическое утверждение истинно. Быть доказуемым обозначает, что можно доказать истинность этого утверждения из аксиом. Очевидно, что доказуемость у́же понятия истинности. Удивительно то, что существуют утверждения, которые мы считает истинными. Например утверждение "всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами" истинно, хотя доказывают его обычно как вывод из основной теоремой алгебры (которая утверждает, что всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел). Доказывается это утверждение, обычно, в рамках аж комплексного анализа. Т.е. для доказательства истинности некоторого утверждения, мы выходим "за рамки" изначальной теории. Мы рассматриваем другую, более широкую аксиоматическую теорию, в которой можно сформулировать изначальные аксиомы и утверждения и изначальные аксиомы являются теоремами в этой новой теории. Если наше утверждение доказуемо в рамках "расширенной" теории, то оно верно в рамках изначальной.
Но вернёмся к системе аксиом Цермело — Френкеля (ZF). Для нас сейчас не существенны детали этой аксиоматики. Г. Кантор пологал, что континуум-гипотеза верна и пытался в течении многих лет её доказать, но тщетно. Для нас, же, важны следующие два результата:
а) в 1940 году Курт Гёдель доказал в расширенной теории, полученной присоединением к системе аксиом Цермело — Френкеля аксиомы выбора (ZFС), а также в предположении о непротиворечивости ZFС, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFС, т.е. ложно то, что "континуум-гипотеза доказуема в ZFC".
б) а в 1963 году Коэн доказал в расширенной теории, полученной присоединением к системе аксиом Цермело — Френкеля аксиомы выбора (ZFС), а также в предположении о непротиворечивости ZFС, что континуум-гипотеза недоказуема в ZFC, т.е. ложно, что "континуум-гипотеза верна".
Таким образом, континуум-гипотеза не зависит от аксиом ZFC.
Континуум-гипотеза не была первым утверждением, для которого была доказана его независимость от аксиом ZFC. Немедленный следствием теорем о неполноте Гёделя, которые были опубликованы в 1931 г., что существует формальное высказывание (которое соответствует Гёделевской нумерации) выражающее непротиворечивость ZFC, которое не зависит от аксиом ZFC. Континуум-гипотеза и аксиома выбора были одними из первых математических утверждений, для которых была показана их независимость от аксиом ZF теории множеств.
Континуум-гипотеза тесна связана со многими утверждениями в анализе, топологии и теории меры. Результатом независимости континуум-гипотеза от аксиом ZFC, для многих существенных гипотез в этих областях была также доказана их независимость.
Континуум-гипотеза оказалась также независимой от всех известных больших кардинальных чисел в контексте аксиом ZFC.
No comments:
Post a Comment