Мои впечатления о книге "Беседы о теории игр" Хаима Шапира

Эта книга написана в оригинале на иврите (не переводная с английского как другие книги на иврите, которые я в последнее время читаю). Она называется

חיים שפירא
שיחות על תורת המשחקים

В книге есть английский вариант названия:

Haim Shapira
Conversations on Game Theory.

Я уже читал другую книгу этого автора "Бесконечность - нескончаемое путешествие". Там же можно посмотреть информацию об авторе.

Мне очень понравилась эта книга. Она читается легко и весело. В книге нет сложных формул.

Ниже есть продолжение.

В книге есть много юмора. Не буду подробно описывать её содержание, скажу лишь, что до того, как начинается использоваться статистика, она просто бесподобна. Затем, пока идёт оперирование исключительно медианой и математических ожиданием, она также читается легко. Однако, затем, происходит осечка. Ниже я приведу пример из книги, с которым я категорически не согласен.

Естественно в книге рассматривается дилема заключённого, равновесие Нэша и др. Я опишу лишь как в книге рассказывается о том, как выбрать себя пару, как играть в азартные игры, Парадокс Монти Холла, сталкивающиеся машины и Кубинский кризис, пример, с которым я не согласен.

Как выбрать себя пару. Предположим в комнате находятся 30 мужчин и 30 женщин (скажем, перед балом). Игра, немного в упрощённом мною виде, происходит следующим образом, мужчины посылают записку со своим именем женщинам. Женщина обязана выбрать из полученных записок кого-то. Если она, скажем, получила одну записку, она обязана выбрать счастливчика. Образовавшиеся пару уходят на бал и игра продолжается, пока не будут созданы все пары.

Именно здесь автор раскрывает идею равновесие Нэша, я не буду пересказывать всё содержание, а покажу лишь один момент. Допустим Хаим Шапир участвует в такой игре. Входит он в комнату и видит там Анжлелику Джонс (так в книге). Первое, что он хочет сделать, это послать ей записку со своим именем. Но, очевидно, не только он пошлёт ей записку, а сделают это почти все. Шансов, что она выберет именно его, очень малы. Поэтому Хаим Шапира пошлёт записку чуть менее желанной женщине.

Но, что будет, если окажется, что в комнате 19 мужчин учили теории игр, все кроме, скажем, Мойши. Тогда, они все пошлют записки всем, кроме Анджелины Джонс, а Моше, не мудрствуя лукаво, пошлёт записку Анжлелике Джонс и выиграет. Быть, может, пишет автор, именно этим объясняется существование таких странных пар. :-)


Как играть в азартные игры. Допустим, вы находитесь в казино и перед вами рулетка. Как нужно играть?
Как известно, в игре в рулетку, математическое ожидание для игрока отрицательное (именно для этого добавляются поля с нулями). Что это значит? Если долго играть, то казино будет в выигрыше, а вы проиграете. Однако, мат. ожидание, ничего не говорит о том, что будет, если вы будете играть мало. Для интуитивного объяснения упомянутого закона Больших чисел Хаим Шапира приводит такой пример - допустим вы будете кидать в кольцо против Майкла Джордона, до сколки очков вам стоит вам играть? Конечно, лучше заранее отказаться от этой затеи, т.к. шансов у вас почти нет. Но, допустим, вы всё же должны сыграть с ним. Если вы будете играть до 1 очка, то, быть может, вам удастся попасть, а Майкл Джордон, по случайности, промажет. Вернёмся, однако, к рулетке.

Первых и главный совет - не играть вообще. Есть игры, в которые правильной стратегией будет просто не участвовать в них. Поэтому, переформулируем вопрос, как нужно играть, если должен. Допустим, вы проиграли все деньги, у вас осталось только 2 доллара, а автобус до гостинице стоит 10. Тогда ваша стратегия должна быть следующей: поставить 2 доллара на красное. Если проиграли, что ж, значит не повезло, если выиграли, то у вас будет 4 доллара и вам не хватает ещё 6 до билета. Ставите, 4 доллара (все деньги). Если проиграли, значит не повезло, если выиграли, то у вас 8 долларов и не хватает только 2 долларов. Значит вы ставите 2 доллара. Если проиграли, у вас есть ещё 6 долларов и вы продолжаете игру (и поставите 10-6=4 доллара), если вы выиграли, то у вас есть 10 долларов, на этом вы должны закончить игру. Итак, на каждом этапе игры вы ставите минимум между недостающую сумму до 10 долларов и всеми вашими деньгами. Как только у вас будет 10 или более долларов, вы прекращаете игру.

Парадокс Монти Холла Перед тем как перейти к этому парадоксу и не объявляя об этом заранее, автор рассматривает следующую задачу. В тюрьме находятся трое заключённых, но только один из них совершил серьёзное преступление. Кто именно, следствию не известно. Как быть? Сталин бы, в таком случае, расстрел бы всех, для верности, в современных демократических обществах, все были бы отпущены за недостатком улик, но в этой задаче, решили поступить по-другому. Вечером решили сделать жеребьёвку. На ней присутствовал их охранник. Он знает результат. Тот, кого выбрал случай будет казнён, остальных отпустят. Охраннику разрешается говорит с заключёнными обо всём, о том, к примеру, что такое интеграция по частям или что изучает топология :-), но ему запрещено сообщать им информацию о том, что поможем им вычислить кого казнят.

Далее, обозначим заключённых A,B,C. Заключённые B и C крепко уснули. Заключенный A начинает разговаривать с охранником. Заключённый A говорит: "Я знаю, что B или C уйдут от сюда свободными". Действительно, это так, будет повешен только один заключенный, если это A, то оба B и C уйдут, если это B, то свободным будет C, если это C, то свободным будет B. Таким образом, охранник может ответить на этот вопрос утвердительно, так как он не сообщает никакой новой информации. Далее, заключённый A спрашивает: "Назови мне имя заключённого, которого освободят (если выйдут оба - то назови мне кого-то одного из них)". Может ли охранник ответить на этот вопрос?

Так как заключённый A уже знает, что B или C (или оба) выйдут завтра на волю и ему всё равно, кто именно из них, то охранник не сообщит никакой новой информации, если сообщит, что выйдет завтра, к примеру, заключенный B.

После такого объяснения можно читать про парадокс Монти Холла.

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Парадокс Монти Холла

Так вот, распространённая ошибка состоит в том, что после того, как нам открыли пустую дверь, перед нами новая игра с двумя дверьми. Таким образом, ошибочно считается, что вероятность выиграть составляет 1/2. Однако, никакой новой
новой информации мы не получили. Мы и до игры знали, что после нашего выбора, в одной из оставшихся дверей нет приза. Нам всё равно, где именно его нет. Что с того, что мы узнали где именно его нет? Таким образом, у нас перед открытием первой двери была вероятность, что он там 1/3, а значит с вероятностью в 2/3 приз находится не за этой дверью (а за какой-либо другой). Так как новой информации мы не получили, но после открытия двери, у нас осталась только одна закрытая дверь, это значит, что приз находиться там с вероятностью в 2/3.

Сталкивающиеся машины и Кубинский кризис. Игра в сталкивающиеся машины состоит в следующем. Навстречу друг к другу несутся две машины, водитель который свернул и избежал столкновения - проиграл. Очевидно, если никто не свернул и произошло столкновение, то проиграли оба.

Автор рекомендует следующую стратегию. Прийти на соревнование пьяным, принести с собой пустую бутылку, одеть тёмные очки, лучше выкинуть руль по ходу движение, в общем, всем своим видом демонтировать, что ты сумасшедший, и не уступишь. Тогда, другой игрок, который не пил, должен будет свернуть и проиграть. Но что будет, если и другой игрок придёт в доску пьяный? Очевидно, что в этом случае, стратегия не сработает.

Далее, делается небольшое отступление. Теория игр появилась во время холодной войны. Её пиком был карибский кризис, когда США и СССР на всех парах неслись на встречу друг другу. Модель приведённой выше игры, довольно точно описывает сложившеюся тогда ситуацию. Бертнар Рассел заметил, однако, что ситуация не совсем была симметричной. А именно, в СССР не было свободы слова, и именно это позволило Хрущёву пойти на попятную, "увернуться от столкновения" и вывести ракеты из Кубы.

Хочу заметить, что Хаим Шапира считает, что США однозначно выиграли в этом кризисе. Он говорит о том, что СССР убрали свои ракеты с Кубы, а взамен США, чисто символическим жестом, убрали свои ракеты с Турции. Я с ним не согласен. Хотя я согласен, что США больше выиграли, чем проиграли, я не давал бы столь однозначную оценку. Во-первых, это не был "чисто символическим жестом", это было ультимативное требование СССР, которое США приняло. Во-вторых, Хаим Шапир забыл упомянуть о том, что США дали гарантии о не нападении на Кубу, которых они-таки придерживались. Это, несомненно, является достижением СССР. После того, как через пару лет были поставлены на службу межконтинентальные ракеты, проигрыш СССР в этом эпизоде вообще сталь несущественным. Вместе с тем, есть мнение, что в том числе из-за мягкости, проявленной Хрущёвым в этом кризисе, он через пару лет был отстранён.

Пример, с которым я не согласен. Допустим, ваш биржевой консультант говорит, что "вероятность того, что акции Тевы завтра поднимутся составляют 80%" (он так считает). Тогда, если завтра акции Тевы действительно поднимутся, он скажет: "я же вам говорил", а если нет, то он скажет: "я не зря оставил 20% на то, что они не поднимутся." Как же можно его проверить?

Уже в этом месте я не согласен с постановкой вопроса. Почему игнорируется вопрос на сколько акции поднимутся. Допустим, есть вероятность 80%, что они поднимутся на 1 цент (0,01$$$), и 20% что они упадут на доллар (1$$$). Тогда, мат. ожидание будет 0,8*0,01-0,2*1=-0,192 < 0, т.е. исходя из мат. ожидания стоит ставить именно на понижение!

Далее, автор предлагает, следующую методику оценки. Мы дадим биржевому консультанту следующие акции, Тева, Матрикс, банк hапоалим, Паз, банк Леуми и попросим его написать вероятность того, что их акции поднимутся назавтра. Т.е. вместо того, чтобы многократно повторить один эксперимент с одной акцией, мы проведём один эксперимент с разными акциями. На самом деле здесь, мы незаметно сделали другую подмену. В анализе "вероятности в 80%" выше, мы считали, что это частотная вероятность. На самом деле, мы проверяем степень уверенности биржевова консультанта в истинности суждения, т.е. байесовскую вероятность.

Допустим, что мы получили следующую таблицу:

Акция	Вероятность роста	Произошло ли?	Вероятность падения	Произошло ли?
Тева	0,70
Матрикс	1
Банк hапоалим	0,20
Паз	0,80
Банк Леуми	0,90

Положим, для простоты, что цена акции не стоит на месте, т.е. она либо повышается, либо понижается. Тогда, если вероятность повышения будет p, то вероятность понижения, будет 1-p (в сумме они должны дать 1, цена акции либо повышается, либо понижается). К примеру, вероятность, понижения акции банка Леуми будет 1-0,90=0,10. Таким, образом, фактически нам была дана следующая таблица:

Акция	Вероятность роста	Произошло ли?	Вероятность падения	Произошло ли?
Тева	0,70		0,30
Матрикс	1		0
Банк hапоалим	0,20		0,80
Паз	0,80		0,20
Банк Леуми	0,90		0,10

На следующей день мы можем дополонит таблицу, поле "произошло ли?" около повышения, обозначим через +, если произошло повышение и -, если произошло понижение. Поле "произошло ли?" около понижения, обозначим через +, если произошло понижения и +, если произошло понижение. Получим:

Акция	Вероятность роста	Произошло ли?	Вероятность падения	Произошло ли?
Тева	0,70	+	0,30	-
Матрикс	1	+	0	-
Банк hапоалим	0,20	-	0,80	+
Паз	0,80	+	0,20	-
Банк Леуми	0,90	-	0,10	+

Так считает "коэффициент знаний". Находим G, среднее арифметическое уверенности биржевого консультанта в событиях, которые произошли (около которых стоит плюс), B, среднее арифметическое уверенности биржевого консультанта в событиях, которые не произошли, "коэффициент знаний" K будет разностью между ними. В нашем случае:

$G=\frac{0,10+0,80+0,80+1+0,70}{5}=0,68$
$B=\frac{0,90+0,20+0,20+0+0,30}{5}=0,32$ или, можно проще? $B=1-G=1-0,68=0,32$
$K=G-B=0,68-0,32=0,36$ ($K=2G-1$)

Т.к. $0<G<1$, значит $-1<K<1$.

Однако, ещё раз, мы оценили насколько близко к реальности, находится степень уверенности биржевого консультанта, т.е. насколько адекватно была его субъективная вероятность. Однако, даже если биржевой консультант ошибается "лишь в 5% случаев", т.е. обычно его оценки событий адекватны, мы можем потерять много денег в случае, если произойдёт событие, которое биржевой консультант "плохо" оценил (из-за его уверенности в своих оценках). Это не говоря об игнорирование амплитуды движения (в таблице мы должны, хотя бы, приводить произведения вероятности на то, на сколько цена акции изменится).