Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть VII

См. также
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть I
Часть II. Алгебраические свойства золотого сечения.
Часть III. Числа Фибоначчи и золоте сечение.
Часть IV. Цепные дроби и золоте сечение.
Часть V. Фрактальная геометрия и золоте сечение.
Часть VI. Закон Бенфорда, или закон первой цифры.
Часть VII. Золотое сечение в природе.


Золотое сечение в природе.
Это, наконец-то, последняя часть. В принципе, её можно читать сразу после первой части (хотя в некоторых местах я использую факты показанные в предыдущих частях), поэтому я дам ссылку сюда оттуда. Просмотр роликов не требует никакой особой подготовки.

В этой части я бы хотел бы рассказать о том, где мы встречаем золотое сечение в природе и в повседневной жизни. Так как я наткнулся на потрясающий ролик, то я думаю, что будет намного интересней посмотреть его, чем читать меня, хотя ниже я дополню его (стр. 121-125 в книге).




Про подсолнух я расскажу подробней ниже.




Ниже есть продолжение.

В последнем видео, показан угол в 137,5°, а потом показана некоторая бегущая картинка. На самом деле, здесь показан порядок появления лепестков в расстениях. Откуда же знают, в каком порядке должны появляться семечки? При чём тут 137,5° и как это связано с золотым сечением?

Начнём сначала. В 1904 году ботаник Айя Чёрчь (надеюсь, я не слишком переврал его имя) в книге "О связи философии с механическими законами" впервые понял важность взгляда на порядок появления лепестков в том виде, в котором показан в ролике. Угол между линиями, соединяющими центр стебля с каждым его новым лепестком приблизительно сохраняется. Как это ещё было установлено братьями Браве в 1837 г., этот угол примерно равен 137,5°. Какая же связь этого угла с золотым сечением?

Вычислим, для начала угол, который получается при деление полного круга (360°) на золотое сечение φ. Напомню, что численное значение $\phi$, золотого сечение

$\phi=\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \approx 1,6180339887$

Таким образом $360°/\phi \approx 360°/ 1,6180339887 \approx 222,5° $.

Мы получим угол, больше развёрнутого (222,5°>180°). Как известно, угол меряется от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Угол в 222,5°, таким образом, лежит в III четверти. Его же мы можем получить, если будем мерять от положительного направления оси абсцисс по часовой стрелке. Но тогда мы получим не 222,5°, а 360°-222,5°=137,5° - угол который мы наблюдаем в природе. Т.е. 222,5° отмеренное "в математике", против часовой стрелки равняются 137,5° "в природе", по часовой стрелке. Некоторые называют 137,5° - золотым углом.

В пионерской работе, сделанной в 1907 году немецкий математик Джей Фон Итэрсон (надеюсь я не сильно переврал его фамилию) показал, если плотно сжимать непрерывные точки, угол между которыми составляет 137,5°, в тонкие спирали, глаз сразу воспримет одно семейство спиралевидных структур закрученных по часовой стрелке, и другое семейство - закрученное против часовой стрелке. Количество спиралей в каждом семействе будут составлять, обычно, последовательные числа Фибоначчи, так как отношение между ними стремится к золотому сечению.

Такие противонаправленные спирали хорошо видны в подсолнухе. Если смотреть на голову подслолнуха, будут видны спирали закрученные по и против часовой стрелки, созданное цветком. Очевидно, что они растут так, что они делят горизонтальное пространство наиболее эффективным способом. Количество таких спиралей, в большинстве случаев, зависит от размера головки. В наиболее распространённых случаях есть 34 спирали в одном направлении и 55 спирали в противоположном направлении, однако найдены подсолнухи с отношениями 89:55, 144:89 и даже 233:144 между количеством спиралей (о последнем сообщении было сообщение в Scintific American в 1951 г.). Всё это, конечно же, является отношением между близлежащими числами Фибоначчи. В самом большом подсолнухе, при продвижении от центра к краям структура простирается от одной пары последовательный чисел Фибоначчи к следующей.

В маргаритке, как и в некоторых других цветках, количество лепестков в венчике также содержат в себе числа Фибоначчи и другие связи с золотым сечением. В большинстве случаях маргаритка содержит 13, 21 или 34 лепестка - все они являются числами Фибоначчи. Количество лепестков просто отражает количество спиралей в одном семействе. Подобная связь есть и розы.

Почему же, угол между двумя последовательными лепестками составляет именно золотой угол в 137,5°? Здесь я не буду приводить ботаническое объяснение и физические опыты поставленные в 1991, 1992, и 1996 г. (они показали, что системы с "золотым углом" обладают минимальной энергией), а дам лишь математическое объяснение феномена. Бутон расположенным по спирали, так что разделяет их золотой угол будут иметь максимальное уплотнение. В самом деле, если угол расхождения был бы 120°, к примеру (т.е. 360°/3) или любое другое рациональное кратное 360°, лепестки были бы покрывали бы друг друга при радиальном взгляде (по длине трёх линий, в случае с 120°) и так оставались бы между ними большие пустоты. В противоположность этому, угол расхождения такой как золотой угол, являющийся иррациональным кратным 360°, обеспечивает, что лепестки не будут накладываться друг друга при любом заданном радиальном взгляде и поэтому эффективно заполнят пустоты. Золотой угол является предпочтительным среди всех иррациональный кратных 360°, т.к. золотое сечение φ является самым иррациональным числом из всех иррациональных чисел в следующем смысле. Вспомним, что золотое сечение представимо в виде цепной дроби, состоящей исключительно из 1. Такая цепная дробь сходиться медленнее чем любая другая цепная дробь. Другими словами, золотое сечение "само трудно" среди всех иррациональных чисел представить в качестве цепной дроби.

Конец.