Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть V

См. также
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть I
Часть II. Алгебраические свойства золотого сечения.
Часть III. Числа Фибоначчи и золоте сечение.
Часть IV. Цепные дроби и золоте сечение.
Часть V. Фрактальная геометрия и золоте сечение.
Часть VI. Закон Бенфорда, или закон первой цифры.
Часть VII. Золотое сечение в природе.


Фрактальная геометрия и золоте сечение.
Те, кому эта часть неинтересна могут спокойно её пропустить.

Перед тем, как перейти к фрактальной геометрии надо было бы сказать пару слов и об обычной. Тем более, что само понятие золотого сечения зародилось там. Что я вкратце и сделаю.

Но в начале, я вкратце повторю известные нам уже факты.

Ниже есть продолжение.

Вспомним определение, золотого сечения. Меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Это в свою очередь приводит нас к уравнению

$\phi^2-\phi-1=0$ (*)

Положительный корень которого и есть число $\phi$, золотое сечение. Численное значение

$\phi=\frac{1+ \sqrt{5} }{2} \approx 1,6180339887$

Сопряжённое с ${\phi}$ число равняется $-\frac{1}{\phi}$ и оно равняется $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (**)

$\phi$ иррационально. Более того, в некотором смысле, число ? является "самым иррациональным из всех иррациональных". При помощи отношения чисел Фибоначчи можно получит все лучшие рациональные приближения $\phi$. Числа Фибоначчи в свою очередь растут экспоненциально, точнее

$F(n)=[\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}], n \geq 0.$ (***)

т.е. растут как степень числа ?.

Пифагор утверждал, что пентаграмма, что именно из-за того что в ней содержится золотое сечение, представляет собой математическое совершенство. Если разделить длину любого цветного сегмента пентаграммы на длину самого длинного из оставшихся меньших сегментов, то будет получено золотое сечение (?).





http://ru.wikipedia.org/wiki/Пентаграмма#Пентаграмма и золотое сечение

Другие использования золотого сечения в геометрии можно найти на английском здесь http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio#Geometry, в частности золотой треугольник золотой гномон, правильный пятиугольник упоминаются в книге в связи с золотом сечением.

Я же в этой части сконцентрируюсь на фракталам и их связи с золотым сечением. В книжке см. страницы 226-232 и приложения на ст. 278-281. Эту часть я пишу близко к тексту, хотя мой текст не является просто пересказом.

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Основное свойство фрактала следующее:

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Если разбить такую фигуру на всё меньшие и меньшие части, они будут выглядеть как исходная фигура. Сфотографируйте, к примеру, кусок маленького камня и вам будет сложно отличить его от фотографии целой горы. Даже напечатанная форма цепной дроби, которая, как мы установили выше, равняется ?, золотому сечению.

$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$?

Фракталы обладают нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Понятие фрактала исторически возникло из-за попытки ответа на вопрос: "какова длина береговой линии Британии?". Длина береговой линии зависит от длины линейки, которой его меряют. Если вы возьмём линейку с более мелким масштабом, мы получим большее значение для длины береговой линии, так как мы будем находить субструктуры всё меньшего и меньшего масштаба. Извивание береговой линии не становятся прямыми линии с увеличением; они продолжают оставаться при любом масштаб и длина возрастает безгранично (по-крайней мере пока мы не приходим к масштабу атома).

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую.

Лучше всего это продемонстрировать на кривой Коха. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге итерации повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д... Предельная кривая и есть кривая Коха.



Ретроспективно, это был первый встреченный мною фрактал. Это был пример непрерывной функции, не дифференцируемой ни в одной точке. Я помню как я в 10 классе объяснял кому-то как раз существование таких функций на этом примере.

Если же начать не с прямой, а с равностороннего треугольника, то предельная кривая будет «снежинкой Коха».



На каждой итерации мы заменяем треть отрезка двумя новыми частями, длина каждой новой части составляет треть отрезка. Каждая новая часть подобна первоночальному отрезку. Таким образом, длина отрезка увеличивается на треть длины, т.е. длина отрезка становится $\frac{4}{3}$ первоначальной длины на каждой итерации. Если мы сделаем n итераций, длина отрезка станет $(\frac{4}{3})^n$. При неограниченном увеличение количества итераций, получим, что периметр "снежинки Коха" будет стремится к:

$\lim_{n\to +\infty} (\frac{4}{3})^n= +\infty$

$+\infty$.

Стоит обратить внимание, несмоторя на бесконечный периметр, площадь «Снежинки Коха» конечна и равняется $\frac{8}{5}$ площади первоначального тругольника (равносторонний треугольник, взятый для первой итерации). См. http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake для доказательства.

Перед тем, как мы перейдём к вопросу о размерности фрактала я бы хотел привести пример ещё одного фракатала.

Речь идёт о множестве Кантора.

Канторово множество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Слово "фрактал" я впервые услышал, именно в связи с ним.

Помню, как перед лектор перед тем как перейти к этой теме, неожиданно рассказал анекдот:

Сын приходит к отцу-профессору математики и говорит "Пап загадай число от одного до десяти." Отец загадывает число е (число Эйлера).

http://alexsmail.blogspot.com/2011/03/blog-post_7324.html

Для сына "очевидно", что имеются в виду натуральные числа, поэтому он даже об этом не упоминает в условии его задачки. Отец, привыкший к точности, решает загадать "тяжёлое" число, которое удовлетворяет условии задачи, но которые было бы тяжело отгадать. Возможно, даже он думают загадать число e или ?, число пи. Так вот, множество Кантора является аналогом такого "тяжелого случая", обычный человек не додумается построить такое «плохое множестве», тем не менее оно удовлетворяет всем формальным критериям и поэтому является важным примером.

См. также
Эйзэ кэта - это "случай из жизни", рассказанные другим лектором.
Два математика загадывают числа

Из единичного отрезка $C_0=[0,1]$ удалим среднюю треть, т.е. интервал $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$. Оставшееся точечное множество обозначим через $C_1$. Множество $C_1=[0,\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},1]$ состоит из двух отрезков, каждый из которых подобен первоначальному, является его "уменьшенной копией"; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через $C_2$. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем $C_3$. Дальше таким же образом получаем $C_4, C_5, C_6...$. Обозначим через $C$ пересечение всех $C_i$. Множество $C$ называется Канторовым множеством.



Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например $0,1_3\in C$ так как $0,1_3=0,0(2)_3$.

Канторово множество континуально. В частности, оно не счётно. Вместе с тем, оно имеет меру ноль.

Вернёмся к определению размерности. Размерность фракталов является по-сути мерой искривлённости фрактала или темпа роста длины, площади или объёма, измеряемые во всеуменьшающем масштабе. Это лежит в основе размерности Хаусдорфа. Идея заключается в том, чтобы проверить сколько маленьких [подобных, "уменьшенных копий"] объектов составляют бо?льший объект в заданном количестве измерений.

К примеру, если разделим на две ($f'=2$, коэффициентом подобия $f=\frac{1}{f'}=\frac{1}{2}$) части (одномерную) прямую линию, мы получим два ($n=f'^1=2^1=2$) [подобных] отрезка. Если разделим (двумерный) квадрат на меньшие [подобные] квадраты так, что длина каждой стороны будет равняться половине (снова, $f'=2$, коэффициентом подобия $f=\frac{1}{2}$) длины первоночального квадрата, мы получим $n=f'^2=2^2=4$ [подобных] квадрата.

Если же мы разделим заданный квадрат на три части ($f'=3$, $f=\frac{1}{3}$)),



то мы получим $n=f'^2=3^2=9$ [подобных] квадратов. Для (трёхмерного) заданного куба, делелние его сторон на две части ($f'=2$, $f=\frac{1}{f'}=\frac{1}{2}$) приведёт нас к $f=f'^3=2^3=8$ [подобным] кубам. Если же мы разделим заданный куб на три части ($f'=3$, $f=\frac{1}{3}$)), то мы получим $f=f'^3=3^3=27$ [подобных] кубов.

Если мы внимательно посмотрим на эти примеры, мы увидим, что зависимость между количеством новых [подобных заданному] объектов n (которые составляют "большой" объект), "коэффициент уменьшения" f', коэффициентом подобия f и размерностью D задаётся с помощью формулы:


$n=f'^D=\frac{1}{f}^D$ (1)

где $f'=\frac{1}{f}$ (1a).

К примеру, для коэффициента подобия ($f=\frac{1}{3}$)), т.е. мы делим объект на три части ($f'=3$) и размерностью $D=2$, мы получили $f=3^2=\frac{1}{(\frac{1}{3})}^2=9$ [подобных] квадратов.

В таком виде, эту формулу не очень удобно использовать. Выразим, D через f и n. Для этого возьмём логарифм от обеих сторон равенства:

$\ln n=D*\ln \frac{1}{f}$ или

$\ln n=D*\ln f^{-1}$ или

$\ln n=-D*\ln f$ или

$D=-\frac{\ln n}{\ln f}$ (2)

где, напомню, D - размерность, n - количество новых [подобных] объектов, f - коэффициентом подобия.

Применяя формулу (1a) связывающую f и f' получим

$D=-\frac{\ln n}{\ln f}=-\frac{\ln n}{\ln \frac{1}{f'}}=-\frac{\ln n}{\ln f'^{(-1)}}=+\frac{\ln n}{\ln f'}$, т.е.

$D=\frac{\ln n}{\ln f'}$ (3)

где, напомню, D - размерность, n - количество новых [подобных] объектов, f' - "коэффициент уменьшения".

Давайте посчитаем размерность для упомянутых выше фракталов. Начнём, с множества Кантора. Для его построения мы на каждой итерации делили отрезок на три равные части, т.е. $f'=3$, с коэффициентом подобия $f=\frac{1}{3}$. После каждой итерации мы получили два новых [подобных] объекта, т.е. $n=2$. Таким образом используя формулу (3) получим

$D=\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx 0,6309$

Далее, посчитаем размерность кривой Коха. Для её построения мы на каждой итерации делили каждую сторону на три равные части, т.е. $f'=3$, с коэффициентом подобия $f=\frac{1}{3}$. После каждой итерации мы получили четыре новых [подобных] объекта, т.е. $n=4$. Таким образом

$D=\frac{\ln 4}{\ln 3}\approx 1,2619$

«Снежинки Коха» строится точно также как кривая Коха, за исключением того, что первоначальная фигура разная (равносторонним треугольник вместо прямой). В остальном построение одинаковое. Таким образом у неё должна быть такая же размерность. Для её постоения мы также на каждой итерации делили каждую сторону на три равные части, т.е. $f'=3$, с коэффициентом подобия $f=\frac{1}{3}$. После каждой итерации мы получили четыре новых [подобных] объекта, т.е. $n=4$. Таким образом

$D=\frac{\ln 4}{\ln 3}\approx 1,2619$

Кстати, также у длины береговой линии фрактальная размерность равняется примерно 1,26. Таким образом, фракталы могут быть использованы как модель для настоящих береговых линий.

Как это всё связано с золотым сечением? Терпение, сейчас мы как раз к этому переходим.

Во многих наблюдаемых в природе фракталах, начиная с деревьев и заканчивая ростом кристаллов, главной характеристикой является разветвлённость. Давайте посмотрим на самый простой пример такого явления.

Начнём со ствола единичной длины, который разветвляется на две ветки ($n=2$) длиной в $\frac{1}{2}$ под углом в 120° (от ствола до первой ветки 120°, от первой ветки до второй ветки 120°, от второй ветки до ствола 120°, всего 360°). Каждая ветвь вновь разветвляется таким же способом.



Процесс продолжается без ограничения.



Если мы возьмём в качестве коэффициента подобия не $f=\frac{1}{2}=0,5$ а чуть больше, скажем, $f=0,6$, то тогда расстояние между ветвями уменьшаться и в конце концов начнут касаться друг друга. Интересно узнать, при каком значении коэффициента подобия f ветви дерева начинают касаться друг друга?

Давайте внимательно посмотрим на предпоследний приведённый выше рисунок. Длина ствола равняется 1. Длины первых двух ветвей равняется f ($f=\frac{1}{2}=0,5$ при первом построении). Затем, в частности, длины "вертикальных" ветви равняются $f^2$. От них, в частности, навстречу друг другу идут ветви с первоначальными длинам $f^3$. Давайте проследим за изменением направления ветвления. Итак, сначала, у нас был ствол длиной 1. Затем мы пошли вправо и влево на длину $f$. Давайте продолжим следить за правой ветвью. Мы пошли вверх на $f^2$. Затем мы пошли вправо и влево на длину $f^3$. Однако для касания с соседней ветвью важно только то, что мы пошли влево. Таким образом, чтобы произошло касание мы должны влево пройти тоже расстояние, что мы прошли вправо.

Вправо мы сделали ровно один шаг, когда от ствола образовались первые ветки. Какое расстояние было пройдено вправо в горизонтальном направлении? Проведём от первой точки ветвления горизонтальную линию вправо. Опустим из второй точки ветвления перпендикуляр на эту горизонтальную линию. Как было сказано выше, углы между всеми стволами и ветвями равняются 120°. В частности угол между стволом и правой ветвью равняется 120°, угол между правой ветвью и вертикальной ветвью равняется 120°. Значит внутренний угол треугольника (образованный опусканием перпендикуляра) будет 180°-120°=60°. Значит другой угол треугольника будет 180°-90°-60°=30°. Следовательно горизонтальное расстояние вправо будет $f cos 30°$.

Влево мы начали идти начиная с $f^3$. Первый шаг был вправо $f$, затем был шаг вертикально вверх $f^2$ и только затем мы повернули налево $f^3$. Горизонтальное расстояние влево на третьем шаге будет, рассуждая аналогично предыдущего абзацу $f^3 cos 30°$. Напомню, что ветвление происходит в обе стороне и вправо и влево, но для того чтобы определить, когда будет ветви дерева начинают касаться друг друга нам достаточно определить минимальное "время", когда мы пройдём в горизонтальное расстояние налево расстояние в $f cos 30°$. Таким образом, на каждом разветвлении, начиная с шага $f^3$ нас интересует только разветвление вправо. На каждом таком шаге $f^i$ мы проходим $f^i cos 30°$ и в сумме мы должны пройти $f cos 30°$. Таким образом, имеем уравнение:

$f cos 30°=\sum_{i=3}^\infty f^i cos 30°$

или

$f cos 30°=f^3 cos 30°+f^4 cos 30°+f^5 cos 30°+f^6 cos 30°+...$

Можно вынести cos 30° в правой части за скобки и сократить, получим:

$f =\sum_{i=3}^\infty f^i$

или

$f =f^3 +f^4 +f^5 +f^6 +...$

В правой части мы имеем геометрическую прогрессию с первыми членов $b_1=f^3$ и со знаменателем $q=f$. Из условия построения данного фрактала следует, что $0<f<1$ (мы начинали с единичного отрезка, а затем мы делаем "уменьшенные копии"), таким образом в частности $-1<q<1$ и мы можем использовать формулу для нахождения суммы бесконечной геометрической прогресии

$S = \frac{b_1}{1-q}$

получим

$f=\frac{f^3}{1-f}$

Умножим обе части на $1-f$ получим

$f(1-f)=f^3$

сократим на f ($f \neq 0$) и перенесём всё в правую часть получим

$f^2+f-1=0$

Это напоминает нам уравнение $\phi^2-\phi-1=0$ (*) положительный корень которого есть золотое сечение. Впрочем мы можем его просто решить его напрямую:

$f_{1,2}=\frac{-1\mp \sqrt{5} }{2}$, положительным корнем есть число $f=\frac{\sqrt{5} -1}{2}$.


$f=\frac{\sqrt{5} -1}{2}=-\frac{1 -\sqrt{5}}{2}$

Согласно (**) f есть число противоположное числу, сопряжённому с ${\phi}$. Т.е.


$f=-\frac{1 -\sqrt{5}}{2}=-(-\frac{1}{\phi})=\frac{1}{\phi}$

т.е.

$f=\frac{1}{\phi}$.


Таким образом начиная с коэффициента подобия один делённое на золотое сечение $f=\frac{1}{\phi} \approx 0,6180339887$ ветви дерева будут касаться друг друга. Дерево с этим коэффициента подобия называется золотым деревом. Нетрудно посчитать и его размерность.

Имеем, количеством новых объектов n, $n=2$, коэффициента подобия $f=\frac{1}{\phi} \approx 0,6180339887$. Согласно (2)

$D=-\frac{\ln n}{\ln f}=-\frac{\ln 2}{\ln \frac{1}{\phi}}=\frac{\ln 2}{\ln \phi} \approx 1,440482972$

Можно начинать строить фракталы не только с прямой линии, но и треугольника или квадрата. Например, можно начать с равностороннего треугольника, длина каждой стороны которого равняется единице. Далее, на каждой стороне треугольника строим новый треугольник с коэффициентом подобия f $0<f<1$. На каждой стороне треугольника "второго поколения" строим треугольник с коэффициентом подобия $f^2$ и т.д. Зададим такой же вопрос, при каком значении $f$ у нас будет "касание". И в этом случае ответ будет начиная с коэффициента подобия $f=\frac{1}{\phi} \approx 0,6180339887$. Что будет, если начнём с квадрата? Опять получим $f=\frac{1}{\phi}$.

Текстовое содержимое доступно в соответствии с лицензией Creative Commons Attributions-ShareAlike (CC-BY-SA), http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/. Источники: Википедия http://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал, http://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая Коха, http://ru.wikipedia.org/wiki/Канторово множество, http://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево Пифагора Авторы: http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Фрактал&action=edit, http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Кривая Коха&action=edit, http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Канторово множество&action=edit, http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Дерево Пифагора&action=edit


UPDATE: 29-04-2011:
См. также:
Фракталы. Поиски новых размерностей
Фракталы и искусство изломанности
Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть V - Фрактальная геометрия и золоте сечение.
END OF UPDATE

UPDATE: 27-04:2013:
Clouds Are Not Spheres
The Mandelbrot Set
END OF UPDATE

Продолжение следует.