Мои впечатления о книге "Золотое сечение" Марио Ливио. Часть I
Часть II. Алгебраические свойства золотого сечения.
Часть III. Числа Фибоначчи и золоте сечение.
Часть IV. Цепные дроби и золоте сечение.
Часть V. Фрактальная геометрия и золоте сечение.
Часть VI. Закон Бенфорда, или закон первой цифры.
Часть VII. Золотое сечение в природе.
Алгебраические свойства золотого сечения.
Те, кому эта часть неинтересна могут спокойно её пропустить.
Для начала повторю определение Евклида.
Ниже есть продолжение.
Допустим у вас есть отрезок. Нужно разделить его на две неравные части. Обозначим длину большей части за a, длину меньшей части за b. Тогда длина заданного отрезка будет a+b. Так вот, нужно разделить наш отрезок таким образом, чтобы длина всего отрезка (a+b) относилась к длине большей части (a) так, как длина большей части a относится к длине меньшей части b.
Получаем пропорцию:
$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$
Отсюда (умножаем "крест на крест" или "умножаем обе части на $a*b$):
$ab+b^2=a^2$
Делим обе части на $b^2$. В школе я помню, я во-первых, не оценил всю прелесть этого приёма, во-вторых, мне было непонятно как до этого додумались. Поэтому объясню, двумя разными способами.
Первый способ. Наша задача решить это уравнение относительно $\phi=\frac{a}{b}$, значение этого выражение (которое будет равняться также значению выражения $\frac{a+b}{a}$) и определит "золотое сечение". Т.е. нам нужно сделать такую "трансформацию", которая "выделит" из $ab$ форму $\frac{a}{b}$, из $b^2$ форму $\frac{a}{b}$ и из $a^2$ форму $\frac{a}{b}$. Например, если мы получим выражение $\frac{a^n}{b^n}$, то оно может быть переписано как $(\frac{a}{b})^n=\phi^n$. Если мы получим число $k$, оно также имеет форму $\frac{a}{b}$ (это $k*(\frac{a}{b})^0=k*\phi^0$. Очевидно, что мы должны получить в знаменателе $b$, поэтому мы должны как минимум разделить обе части на $b$. Но тогда получим $a+b=\frac{a^2}{b}$. В левой части мы видим, что "недоделили" (знаменатель так и "не появился"), а в правой части нам не хватает ещё одного b в знаменателе. Тогда мы можем попробовать поделить ещё раз на $b^2$ и получим
Таким образом
$(\frac{a}{b})^2 = \frac{a}{b}+1$
Второй способ. Конечно, можно было заметить, что мы имеем однородное уравнение относительно $a$ и $b$. Однородное уравнение решается путём введения новой переменной, $u=\frac{a}{b}$ либо $v=\frac{b}{a}$. Возникает два вопроса:
а) как из решение получившегося алгебраического уравнения перейти к решению нашей задачи (нахождения числа $\phi$).
б) какую из этих двух замен предпочесть.
Если мы ещё раз посмотрим, мы увидим, что собственно $\phi=\frac{a}{b}=u$ ($v=1/ \phi$). "Проще" сделать первую замену, т.к. получившееся решение сразу даст нам искомое число $\phi$. Впрочем можно сделать и вторую замену, а затем находить $\phi=1/v$.
Итак, мы получили
$(\frac{a}{b})^2 = \frac{a}{b}+1$
Обозначим $\phi=\frac{a}{b}$, получим
$\phi^2-\phi-1=0$ (*)
$\frac{a}{b}=\phi_{1,2}=\frac{1\mp \sqrt{5} }{2}$
Так вот положительный корень, $\frac{1+ \sqrt{5} }{2}$, и будет "золотым сечением", т.е. $\frac{a}{b}$, т.е. отношением длины большей части a к длине меньшей части b или, что тоже самое отношение длины всего отрезка (a+b) к длине большей части (a).
Далее, я нарушу хронологический ход повествования, вместо этого я расскажу о замечательных свойствах этого числа, а затем я добавлю ещё пару интересных моментов, как, например, уже упомянутый выше закон Бенфорда.
Напомню, что для числа формы $a+b\sqrt{r}$ сопряжённым числом называют число $a-b\sqrt{r}$. Согласно этому определённую "дважды сопряженное число" или число, которое сопряженное с числом, которое в свою очередь сопряжено с числом, равняется этому числу. В самом деле, если мы имеем число $a+b\sqrt{r}$, его сопряжённое число будет, согласно определению, $a-b\sqrt{r}$. "Дважды сопряженным числом", т.е. числом которое получится после сопряжения числа $a-b\sqrt{r}$ будет $a+b\sqrt{r}$. В самом деле, $a-b\sqrt{r}=a+(-b)\sqrt{r}$ По определению, сопряжённая форма этого числа будет $a-(-b)\sqrt{r}=a+b\sqrt{r}$, т.к. $-(-b)=b$.
Таким образом, второй корень уравнения (*) является число, сопряжённое с $\phi$.
Далее, на лекциях в университете, обычно говорят, давайте, мол, смеха ради, посчитаем, чему равняется $\frac{1}{\phi}$. Мы непременно сделаем и это, но я бы всё-таки пошёл бы другим путём.
Что нам дают сопряжённые числа? При помощи них легко избавится от радикалов в знаменателе (это нужно делать, чтобы уменьшить погрешность вычисления). Пример:
$\frac{1}{(3+3\sqrt{2})} = \frac{1}{(3+3\sqrt{2})} * \frac{(3-3\sqrt{2})}{(3-3\sqrt{2})}=\frac{3-3\sqrt{2}}{(3+3\sqrt{2})(3-3\sqrt{2})} =\frac{3-3\sqrt 2}{3^2-3^2*2}=\frac{3-3\sqrt 2}{9-18}=\frac{3-3\sqrt 2}{-9}=$
$=\frac{-1+1\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}-1}{3}$
Т.е. стандартный приём состоит в том, чтобы умножить и разделить сопряжённый знаменателю множитель ("умножить на единицу"), тогда в знаменателе у нас появится выражения формы $(a+b\sqrt{r})*(a-b\sqrt{r}$, как в примере выше, это было $(3+3\sqrt{2})(3-3\sqrt{2})$ и тогда, применив формулу сокращённого умножения $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, мы получим в знаменателе целое число $a^2-b^2*r$, $3^2-3^2*2$ в приведённом выше примере.
Итак, мы хотим выразить число сопряжённые с ${\phi}$ через ${\phi}$. Напомню, что число сопряжённое с числом, которое в свою очередь сопряженно с ${\phi}$, "дважды сопряжённое число", будет ${\phi}$. Поэтому, для этого мы умножим и разделим сопряженно с ${\phi}$ число на ${\phi}$, а затем по другому сгруппируем числа, получим:
$\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{(1-\sqrt{5})}{2}*\frac{phi}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}*\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}*\frac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=$
$=\frac{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{2*(1+\sqrt{5})}=\frac{1-5}{2}*\frac{2}{1+\sqrt{5}}*\frac{1}{2}=-\frac{2}{1+\sqrt{5}}=-\frac{1}{\phi}$.
Таким образом, сопряжённое с ${\phi}$ число равняется $-\frac{1}{\phi}$.
Я думаю, вы догадались, как можно было по-другому получить этот же результат.
$\frac{1}{\phi}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}*\frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=$
$=\frac{2*(1-\sqrt{5})}{1-5}=\frac{2*(1-\sqrt{5})}{-4}=-\frac{(1-\sqrt{5})}{2}$ и отсюда
$\frac{(1-\sqrt{5})}{2}=-\frac{1}{\phi}.$
Можно ли упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$? Оказывается можно и опять-таки можно сделать это, по меньшей мере тремя способами. Продемонстрирую все три способа.
Способ первый. Мы получили выше, что $-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (1)
По определению, $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Мы можем отсюда выразить $\sqrt{5}$ через $\phi$, а затем подставить это выражение в (1). Имеем,
$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}$. Умножим обе части на 2 получим:
$2\phi=1+\sqrt{5}$, откуда $\sqrt{5}=2\phi-1$ (***). Подставим это в (1) получим
$-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{1-(2\phi-1)}{2}=\frac{1-2\phi+1}{2}=\frac{2-2\phi}{2}=1-\phi$
Таким образом, $\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\phi}=1-\phi$ (2)
В частности отсюда, $-\frac{1}{\phi}=1-\phi$ (3).
Второй способ. Напомню, мы хотим упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$. Напомню, уравнение (*) $\phi^2-\phi-1=0$ положительный корень которого и есть $\phi$. Итак,
$\phi^2-\phi-1=0$
Отсюда
$1=\phi^2-\phi=0$
Разделим обе части уравнение на число $-\phi$ ($-\phi \neq 0)$ получим
$-\frac{1}{\phi}=-\phi+1$
или
$-\frac{1}{\phi}=1-\phi$
что является уравнением (3) выше.
Напомню, что $-\frac{1}{\phi}$ это число сопряжённое с $\phi$. Таким образом, чтобы посчитать сопряжённое с $\phi$ число надо от 1 единицы отнять $\phi$.
Из уравнение (3) следует
$\frac{1}{\phi}=\phi-1$
т.е. чтобы посчитать число обратное числу $\phi$, нужно от $\phi$ отнять 1.
Есть ли у вас идея как посчитать квадрат числа $\phi$? Очевидно, это будет опять какая-то комбинация $\phi$ и 1, а так как мы уже отнимали от $\phi$ единицу и от единицы отнимали $\phi$, то логично предположить, что на этот раз, нам нужно будет их сложить. :-)
В самом деле, уравнение (*) гласит $\phi^2-\phi-1=0$, откуда $\phi^2=\phi+1$. Т.е. чтобы подсчитать квадрат числа $\phi$ нам надо к $\phi$ прибавить 1.
При этом интересно заметить, если бы поставили обратную задачу, а именно, найти все такие числа, квадрат каждого равняется это число плюс один, ответом было $\phi$ и сопряжённое с $\phi$ число. В самом деле, задача просить по сути решить уравнение:
$x^2=x+1$
которое равносильно уравнению (*).
Итак, напомню
(*) $\phi^2-\phi-1=0$
откуда
(**) $\phi^2=\phi+1$
А можно ещё и так.
Способ третий. Обозначим число, сопряжённое с ${\phi}$ через сопряжённое с ${\theta}$. Тогда, по теореме Виета из (*) следует:
${\phi*\theta=-1}$
${\phi+\theta=1}$
Из первого уравнение следует, ${\theta=-\frac{1}{\phi}}$, где ${\theta}$ - число, сопряжённое с ${\phi}$.
Можно ли упростить выражение $-\frac{1}{\phi}$?
Из того второго уравнение выше следует ${\theta=1-\phi}$.
Вопрос 1. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$
Ниже я отвечу на этот вопрос, пока вы думаете я лишь замечу, не будем заострят внимания на том, корректно ли определена формула, наличие трёх точек в конце подразумевает, быть может, бесконечный процесс написание формулы (можно это переформулировать корректно), не будем также заострят внимание на том, сходится ли этот предел последовательности. Нашли ответ? Подумайте, я ведь не просто так, задал этот вопрос посреди заметки о золотом сечении. :-)
Решим мы этот вопрос, по, уже ставшей традицией, двумя способами.
Но, для начала покажем, что $x>0$. $\sqrt{u} \geqslant 0 $. Более того $\sqrt{1+u} >= 1 $ для любого $u \geqslant 0$. В самом деле
$u \geqslant 0 \Leftrightarrow 1+u \geqslant 1 \Leftrightarrow \sqrt{1+u} \geqslant 1$
т.е. $\sqrt{1+u}>0$ для $u \geqslant 0$ (10)
Напомню, что
$x=\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$.
Обозначим $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$ через u. Обратим внимание, что это выражение больше или равно нулю, поэтому условие формулы (10) для u выполняется. Получим по формуле (10):
$x=\sqrt{1 + u}>0$, т.е. мы показали, что $x>0$ (11).
Первый способ. Итак, после предисловий мы можем обозначить искомое число за x. $x=\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$.
Чему равняется $x^2$? Как вы уже поняли, недостатком этого способа является вопрос, а почему собственно мы заинтересовались в этом...Для того чтобы посчитать $x^2$, достаточно, по определению, квадратного корня, отбросить самый внешний радикал. Получим $x^2=1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}$. Посмотрите на него внимательно, чем оно отличается от $x$? Тем, что мы "отбросили" самый внешний радикал. Но, так как количество радикалов было бесконечным, то у нас и осталось столько же, а именно, бесконечно много, радикалов (см. также предисловие выше). Т.е. мы получили
$x^2=1 + x$
которое равносильно уравнению (*). А так как мы показали в (11), что $x>0$, то решение этого уравнение является число $\phi$.
Второй способ. Чему равняется $\sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$?
Так как сложение происходит бесконечное количество раз, то легко видеть, что мы имеем дело с фракталом, о котором я расскажу в отдельной заметке, пока же для нас достаточно того, что это выражение, обладающая самоподобия, то есть оно состоит из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Так как мы складываем бесконечное количество раз, то выражение после первого знака плюс является в точности искомым выражением. Обозначим искомое выражение за x. Тогда, имеем
$x=\sqrt{1 + x}$?
Выше в (11) мы доказали, что $x>0$, поэтому это выражение равносильно
$x^2=1 + x$
Решением последнего уравнения принимая во внимание (11) $x>0$ является положительный корень уравнения (*) или число $\phi$.
Красиво, не правда ли? В формуле есть только квадратный корень и единица, а в ответе золотое сечение, число $\phi$, содержащие $\sqrt{5}$.
Вопрос 2. Чему равняется $1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}$?
Я думаю, вас не удивит, если я скажу, что и это $\phi$. Здесь я приведу несколько способов доказательства (есть ещё и третий, использующий числа Фибоначчи, который и приведён в книге, я его приведу в следующей части).
Способ первый. Напомню равенство (*)
(*) $\phi^2-\phi-1=0$
Отсюда $\phi^2=\phi+1$. Разделим обе части равенства на $\phi \neq 0$ получим $\phi=1+\frac{1}{\phi}$. Как нетрудно увидеть, это по сути является рекурсивным определением $\phi$. Число $\phi$ (в левой части) определено через самого себя (в правой части). Если раскрыть рекурсию на один уровень в глубь (подставить вместо $\phi$ (в правой части) выражение ($1+\frac{1}{\phi}$), то получим $\phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\phi}}$. Отсюда, как нетрудно показать, получаем искомое выражение, которое, по построение равняется $\phi$.
Способ второй. Так как сложение происходит бесконечное количество раз, то легко видеть, что мы имеем дело с фракталом, о котором я расскажу в отдельной заметке, пока же для нас достаточно того, что это выражение, обладающая самоподобия, то есть оно состоит из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Так как мы складываем бесконечное количество раз, то выражение после первого знака плюс является в точности искомым выражением. Обозначим искомое выражение за x. Тогда, имеем $x=1+\frac{1}{x}$. Заметим, что $x>0$. Умножим обе части на x, $x \neq 0$, получим $x^2=x+1$ или $x^2-x-1=0$.
Решением последнего уравнения принимая во внимание $x>0$ является положительный корень уравнения (*) или число $\phi$.
Третьего способа здесь не будет, он будет в следующей части. Этот способ использует число Фибоначчи, я его приведу в следующей части. В книге, кстати, приведёт именно этот способ.
Удивительно! Формула с квадратными корнями и единицами определяет то же число, что и формула с делением и единицами.
Вопрос 3. Является ли число рациональным или иррациональным?
Это число не просто иррационально, оно, в некотором смысле, см. в следующей части, само иррациональное из всех иррациональных чисел. Мы докажем его иррациональность четырьмя разными способами, два из них опираются на иррациональность числа $\sqrt{5}$.
Способ первый. Выразим $\sqrt{5}$ через $\phi$. $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{2}$. Отсюда $\frac{\sqrt{5}}{2}= \phi - \frac{1}{2}$, отсюда $\sqrt{5}= 2(\phi - \frac{1}{2})$ или $\sqrt{5}= 2\phi - 1$ (***)
Допустим, от противного, что $\phi$ число рациональное. Докажем, что $2\phi-1$ также рациональное число. Допустим, существует такое целое m и натуральное n, что $\phi=\frac{m}{n}$, тогда $2\phi-1=2\frac{m}{n}-1=\frac{2m}{n}-\frac{n}{n}=\frac{2m-n}{n}$, таким образом $2\phi-1$ также рационально. Однако, $2\phi-1=\sqrt{5}$, а $\sqrt{5}$ иррациональное. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Это самый наглядный способ, естественно проблема в том, что надо догадаться выразить $\sqrt{5}$ через $\phi$.
Способ второй. $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$. Мы знаем, что $\sqrt{5}$ иррационально. Допустим, от противного, что $\phi$ рационально. Тогда, если мы выразим $\sqrt{5}$ через $\phi$, таким образом, что выражение будет включать в себя только умножение и сложение рациональных чисел, тогда исходя из свойств замыкания рациональных чисел относительно операции сложения и умножения, мы получим, что $\sqrt{5}$ рационально. Распишем это более подробно.
Из (***) выше следует, что $\sqrt{5}= 2\phi - 1$. По нашему допущению, $\phi$ рационально, значит и $2\phi$ рационально (2 рационально, умножение двух рациональных чисел - рационально). Значит и $2\phi-1$ рационально ($2\phi$ рационально по доказанному, -1 - рационально, сложение двух рациональных чисел - рационально). Итак, $2\phi-1$ - рационально. Но $\sqrt{5}= 2\phi - 1$. Значит рационально и $\sqrt{5}$. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Третий способ. Не будем использовать иррациональность $\sqrt{5}$. Вспомним определение, золотого сечения. Меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Обозначим большую часть за m, а всю величину за n. Тогда меньшая часть будет m-n. Тогда получим следующую пропорцию.
$\frac{m-n}{m} = \frac{m}{n}$
или
$\frac{m}{n} = \frac{m-n}{m}$ (20)
Допустим, что $\phi$ - рациональное число. Это значит, что существуют такое целое m и натуральное n, что $\phi=\frac{m}{n}$. Такое представление не единственное, но мы можем взять сокращённую дробь, т.е. минимальное значение m и n, отношение которых даёт $\phi$ (этот минимум существует, так как речь идёт о счётном множестве). $\phi=\frac{m}{n}$.
Однако, согласно (20) $\frac{m}{n} = \frac{m-n}{m}$, где $m-n < m$. Т.е. мы можем взять ещё меньшее значения для нашей сокращённой дроби. Мы к пришли к противоречию. Значит наше допущение, что $\phi$ число рациональное было не верно, т.е. $\phi$ число иррациональное.
Четвёртого способа здесь не будет, он будет в следующей части. Для того, чтобы описать этот способ, мне надо бы сначала объяснить, что такое цепные дроби. В английской Википедии есть замечательная статья об этом http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction. В следующей части, я остановлюсь на них подробнее, и приведу доказательство.
Продолжение следует.
No comments:
Post a Comment