Мои впечатления о книге "Бесконечность - нескончаемое путешествие" Хаима Шапира

Эта книга написана в оригинале на иврите (не переводная с английского как другие книги на иврите, которые я в последнее время читаю). Она называется

חיים שפירא
"אינסוף - המסע שאינו נגמר

הספר "אינסוף - המסע שאינו נגמר", שכתב ב-2010, עוסק במתמטיקה ונועד להנגיש את המתמטיקה לקהל הרחב. נושאי הספר הם "מבוא למחשבה" ובו מספר חידות מתמטיות (חלק ראשון), תורת המספרים (חלק שני) ותורת הקבוצות הנאיבית ובפרט בעוצמות אינסופיות ופרקטלים (חלק שלישי). הספר כולל סימונים מתמטיים, הוכחות ואף תרגילי מחשבה מתמטיים לקורא. שפירא מתבל את הספר בהומור, אנקדוטות, אמרות כנף וקריקטורות של המאייר דני קרמן, על מנת להנגיש את המתמטיקה לקהל רחב, ולהפוך את קריאת הספר לקלילה יותר וזורמת.

http://he.wikipedia.org/wiki/חיים שפירא (מתמטיקאי)

Краткий перевод:
Книга на "Бесконечность - нескончаемое путешествие", написанная в 2010 г., занимается математикой и призвана преподнести математику широкой публике. Тема книге "введение в размышления". В первой части книги рассказаны мной загадки, во второй части - теория чисел и наивная теория множеств, в частности мощности множеств и фракталы в третьей части. Книга содержит математические символы, доказательства, и даже математические задачки для читателя. Книга написана с юмором, анекдотами, крылатыми выражениями и карикатурами Дэни Кармена, чтобы преподнести математику широкой публике и сделать чтение книги более лёгким.

От себя несколько маленьких замечаний. Фракталы занимают все несколько страниц. Также, в самом конце заметке я объясняю почему фамилия автора Шапира, а не Шапиро, как я первоначально думал. Там же дан перевод названия на английский. В общем, книга скорей понравилась, хотя вторая (и третья) часть книги были немного скучны мне. Эту книга я бы рекомендовал бы любителям математических задач-головоломок.

Ниже есть продолжение.

Первое, что мне бросилось в глаза, это наличие e-mail-а автора - shapira100@gmail.com. Также в книге есть несколько раз отсылка к Youtube, это помимо рекомендаций других книг прям в тексте книги. Один раз я даже пошёл проверить, однако качество звука там желает лучшего.

В книге есть много упражнений (задач). На мой вкус слишком много. В начале, я останавливался и решал их, но довольно быстро мне это надоело, так как скорость чтения резко падала. Также начало книги перекликается с книгой "Является ли Бог математиком?" Марио Ливио, хотя её жанр существенно другой. Если "Является ли Бог математиком?" это прежде всего философия математики, хотя существенную часть составляет история математики, то эта книга является по сути история математики в задачках. В этой книге намного сильнее собственно математический уклон, хотя доказательства в ней далеки от строгости, они лишь передают суть доказательства.


Приведу, несколько примеров из первой части.
Задача 1 (стр. 27) В маленький далёкой индейской деревне живут 30 женатых пар в 30 маленьких домиках. Также там живёт вождь, который живёт один в отдельном домике. Он никогда не лжёт. Вождь живёт один, он даже написал на своём волшебном посохе "Я думаю, значит я холостяк". Вождь является знатоком логики и даже обучил этому всех мужчин в деревне. Женщин он этому не обучил, т.к. по его мнению, у них есть своя логика, которую обычная математическая логика никогда не поймёт:

Я думаю, что мой муж изменил мне, я даже не уверена, что ребёнок у меня в животе от него.

Пример женской логики (ни один мужчина этого не поймёт).

В один прекрасный день, собрал вождь всех мужчин в деревне, чтобы сообщить важную новость. "Есть женщины-изменницы в нашей деревне. По этическим и эстетическим соображениям, я не могу сказать вам, кто эти женщины. Я дам каждому из вас список, в котором есть список всех изменниц, кроме его собственной жены. Имя вашей жены не будет в списке как если она не изменяла, так и если она изменяла вам. Вам категорически запрещено смотреть в чужие списки. С момента окончания собрания вы запираетесь каждый в своём доме и не выходите оттуда пока не узнаете не найдёте всех женщин, которые изменяли своим мужьям. Тот, кто узнает, что его жена изменила ему, выстрелит из ружья ровно в полночь. Не думаю, что после курса логики, который вы учили у вас будет проблема узнать у кого из вас есть рога."

Удручённые мужчины взяли списки и пошли в свои домики. Каждый из них надеялся, что жена ему не изменяет. Прошёл один день. Ни один выстрел не прозвучал в полночь. Также и во второй день было тихо, однако в полночь третьего дни были слышны выстрелы в нескольких домиках.

Сколько было женщин, изменившим своим мужьям и как об этом узнали их мужья?

Замечание: Возможно, вам это задача напоминает задачу об острове без зеркал? Если так, вам это всё вряд ли поможет, если не так, рекомендую решить и её.

Задача 2 (стр. 57-62; 61).
Совершенное число — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). Первое совершенное число — 6 (1 + 2 + 3 = 6)

Нужно доказать, что любое чётное совершенное число заканчивается на 6 или 8.

Задача 3 (стр. 67-69).
В квадрате 5x5 напишем все натуральные числа по порядку.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25

Теперь выберем любое число, напишем его в стороне и зачеркнём строку и столбец, в котором оно находилось.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25

Затем, продолжаете выписывать числа и зачёркивать строку и столбец, в котором оно находится, пока у вас есть незачёркнутые числа. В конце, сложите все выписанные числа.
У вас получилось 65. Докажите, что всегда будет получаться 65 не важно какие числа были выбраны.

Небольшая подсказка. Совсем маленькая. Впрочем, попробуйте решить сначала без неё, это я даю вам шанс всё-таки остановится и не читать дальше. Ну, ладно. 65 - это также сумма строк, столбцов и диагоналей в волшебном квадрате 5x5.

Задача 4 (стр. 79)
Небольшая индийская загадка. Найдите следующее число в последовательности:
1,2,4,8,16,23,28,38,49,?

Пример 1 (стр. 83-84)
Этот пример иллюстрирует тезис, что достаточно одного контр-примера, чтобы опровергнуть теорему, но сотни, тысячи и т.п. (любое большое, но конечное число) подтверждений не достаточно для её доказательства.

Посмотрите на выражение 991n²+1. Существует ли такое n, при котором это выражение является полный квадратом?

Если мы проверим и ещё проверим и ещё, мы увидим, что мы не получим полного квадрата никогда. Но это неверно. Полный квадрат получается при n равным, внимание, (я несколько перепроверил, что я правильно переписал)
12055735790331359447442238767

Кстати, проверка этого факта на компьютере тоже не совсем тривиально, хотя и не сильно сложно.

Пример 2 (стр. 96, а также книга "Начала" Евклида, глава 10, утверждение 29)
Пифагоровыми тройками называются такие натуральные числа a,b,c, что a²+b²=c². Например, (3,4,5) являются пифагоровой тройкой, так как 3²+4²=5².

Нужно найти формулу, которая даст все такие тройки.

Сейчас будет спойлер, не читайте, если хотите сами подумать.




(n>m) a=n²-m², b=2mn, c=n²+m² и все тройки которые кратны им. Например, n=2, m=1, даёт пифагорову тройку (3,4,5). Значит все тройки будут вида(3k, 4k, 5k).


Перед тем, как я перейду к следующей задачке, расскажу вам одну историю, которая случилась со мной, когда мне было лет 12-14. Как-то ко мне в руки попали "пятнашки". Это такая головоломка. Она представляет собой набор пронумерованных от 1 до 15 квадратных костяшек в квадратной коробке. В коробе есть одно незаполненное квадратное поле. Цель игры - переместить костяшки по коробке, расположив их по порядку. Так вот, встал вопрос, как мне их "запутать" сначала. Ведь, может быть, мне так легко решить головоломку, потому что я просто проигрываю "задом наперёд" процесс запутывания? Мне в голову пришла гениальная идея - высыпать все костяшки с коробки, и вставить их в случайном порядке. Какого же моё было удивление, что после этого я часами пытался восстановить порядок, а мне это всё никак не получалось. Мне тогда и в голову не могло прийти, что могут существовать такие комбинации, при которых сделать это будет не возможно (в школе не задавали подобных задач). Так вот,


Задача 5 (стр. 140)
Доказать, что если поменять костяшки 14 и 15 местами, то невозможно упорядочить "пятнашки" по порядку (от 1 до 15).

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	15	14

Пример 3 (стр. 183)
Великая теорема Ферма утверждает, что для любого натурального числа n>2 уравнение aⁿ+bⁿ=cⁿ не имеет натуральных решений a, b и c. Как известно, эта теорема была полностью доказана в 1995 году Уайлсом.
Так вот, в книге есть контр-пример! Возьмём n=12, a=1782, b=1841, c=1922:

1782¹²+1841¹²=1922¹²

Достанем обычный калькулятор и посчитаем...Не может быть, обе части равенства равны! (Если вы использовали калькулятор Windows в scintific notation вы не получили равенство). В чём же дело?

Для начала убедимся, что что-то здесь нелогично. Давайте проверим это равенство на чётность. Чтобы два числа были равны, они должны быть либо оба чётными либо оба нечётными. 1782¹² - чётное (т.к. 1782 - чётное, а чётное умножить на чётное будет чётное), 1841¹² - нечётное (т.к. 1841 - нечётное, а нечётное умножить на нечётное будет нечётное). Чётное число плюс нечётное будет нечётное. Следовательно, левая часть у нас представлена нечётным числом. 1922¹² - чётное (т.к. 1922 - чётное, а чётное умножить на чётное будет чётное). Следовательно правая часть у нас чётная. Хм... А как же калькулятор?

Дело в том, что числа в левой и правой части имеют больше цифр чем вмещает обычный калькулятор. Если взять калькулятор с больших количеством цифр, то получим выражение слева

2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657

Кстати, число нечётное, как и должно быть. Справа получим:

2 541 210 259 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616

Кстати, число чётное, как и должно быть.

Только 9 первых цифр у них совпадают, но этого достаточно, чтобы получить равенство на обычном калькуляторе.

О вреде округления можно прочитать тут и тут.

Пример 4 (стр. 184)
Пример, "почти" контр-примера к Великой теореме Ферма:

13⁵+16⁵=17⁵+12

12 - очень маленькое число относительно используемых чисел.

Пример 5 (стр. 209-217)
Автор объясняет что такое число e, числом Эйлера, основание натурального логарифма, что называется "на пальцах". Допустим вы приходите в банк и вкладываете туда определённую сумму, обозначим её 1 на период равным также 1 (1 год, например) под, банк ну очень щедрый, 100%=1. Таким образом через 1 год вы получите 1 (тело) плюс 1*1=1 (проценты) 1+1=2. Теперь, допустим, банк меняет условия, через каждые 1/2 года вы получите 50%=1/2. Таким образом через первые полгода вы получите 1 (тело) плюс 1*1/2=1/2 (проценты) или (1+1/2). Затем, это будет ваша "новая единица", новое "тело", которая будет положена под проценты (вы получите "проценты на проценты", это так называемые сложные проценты). Таким образом, за следующие полгода вы получите (1+1/2) тело плюс (1+1/2)*1/2.

(1+1/2)+(1+1/2)*1/2=(1+1/2)(1+1/2)=(1+1/2)²=2,25, что больше чем 2 при 100% за 1 год.

Что будет происходит с доходами, если мы будем и дальше делить наш год на n периодов, когда процент в каждом периоде будет 1/n? Сделаем ещё одну итерацию, для n=3. В конце первой 1/3 периода, мы будем иметь 1 (тело) плюс 1*1/3=1/3 (проценты) или (1+1/3). Эта наше новое тело. За следующую 1/3 мы получим (1+1/3) тело плюс (1+1/3)*1/3.

(1+1/3)+(1+1/3)*1/3=(1+1/3)(1+1/3)=(1+1/3)².

Наше новое тело (1+1/3)². За последнюю 1/3 мы получим (1+1/3)² тело плюс (1+1/3)²*1/3.

(1+1/3)²+(1+1/3)²*1/3=(1+1/3)²(1+1/3)=(1+1/3)³=2,37(037) - читается две целых тридцать семь сотых и 037 в периоде, т.е. это число 2,37037037037037037... у него в конце всё время повторяется 037.

Эта число больше чем 2,25, но уже разница не на столько большая как между 2 и 2,25.

Продолжая таким образом мы, очевидно, формально, нужно доказать это с помощью индукции, получим доход в (1+1/n)ⁿ. Так вот, это выражение и стремится к числу e, когда e стремится к бесконечности. Таким образом e - это доход, который мы получим в таком банке, если периоды будут непрерывными, т.е. мы будет делать их всё меньше и меньше, уменьшая соответственно и процент.

***

Теперь, разберёмся с фамилией.Я исправил фамилию автора на Шапира. В книге есть английский вариант названия:

Haim Shapira
The Never-ending Journey

Лично мне привычные написание на русском как Шапиро. На иврите в неогласованном (обычном) письме оба варианта прочтения неразличимы, отсюда и моя ошибка. См. http://ru.wikipedia.org/wiki/Консонантное письмо, http://ru.wikipedia.org/wiki/Матрес лекционис для подробностей.