מריו ליביו
האם אלוהים הוא מתימטיקי?
Скажу сразу, мне эта книга понравилась. Однако я бы не стал бы рекомендовать её тем, кто не увлекается математикой.
Жанр этой книги я бы определил как философия математики, вместе с тем, существенную часть составляет история математики (см. ниже подробности).
Книга есть по сути развёрнутый ответ на следующий философский вопрос: является ли математика изобретением человека, выдумкой, или математики по-сути лишь открывают математические явления, как скажем, физики открывают законы природы? В чём кроется её необъяснимая эффективность в применении к физическому миру?
Ниже есть продолжение.
В книге довольно много говорится о постановке вопроса, проясняются его различные аспекты. Затем автор методично проходит по истории развития математики и пишет, что об этом думали в разное время. Как развитие математике влияло на то, к чему склоняются математики (напомню, речь идёт о философии, поэтому "математически доказать" ответ невозможно). Такой обзор с высоты птичьего полета был для меня очень интересен. Конечно, многие важные детали не были прояснены как следует, однако, это такой жанр.
Автор книги родился в Румынии в 1945 году. В возрасте пяти лет он репатриировался с родителями в Израиль, где получил образование. Сейчас он живёт в США. Свободно владеет ивритом и английским. Вместе с тем, свои книги он пишет на английском и кто-то другой переводить их на иврит (он снабдил книги рукописным пожеланием, написанным на иврите).
...Лично меня всегда интересовал следующий вопрос. Выбирая те, или иные аксиомы мы действуем довольно произвольно. Например, определения кольца. Мы можем требовать, чтобы кольцо было с единицей, а можем не требовать. Есть масса других примеров, например, когда в абстрактной алгебре вводится понятие алгебра над кольцом, у меня лично сразу возник вопрос почему были отобраны именно эти свойства? Почему, те или иные свойства не были включены? (часть из них были включены в алгебру над полем, к примеру). Ответ, который я в своё время получил сводился к следующему: потому что эти аксиомы порождают нетривиальные структуры, которые можно исследовать. Каков же был мой шок, когда я столкнулся с формальной системой аксиом, где аксиомы менялись постоянно, а объектом исследования было, является ли система аксиом полной, непротиворечивой и т.д., а структуры, которые могут быть построены на их базе было делом второстепенным. Более того, если алгебра над кольцом имеет практической применения (например, матрицы являются алгеброй над кольцом), то те структуры, казались оторванными от всякой реальности...
Вкратце опишу как отвечали на поставленный вопрос. Пифагор считал, что физический мир есть число. Т.е. дружба, к примеру, выражается через числа. Дружественные числа — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.
Далее, идёт Платон. Он выдвинул идею, что все математические абстракции реально существуют в неком идеальном мире. Этот мир, позже стали называть платоническим. Также, как когда-то мореплаватели открывали новый земли, также и математики открывают новые идеи, путешествуя по-этому миру. Обитателей этого мира называют ещё платонизмами. Речь идёт об абстракциях, которые существует вечно в неком идеальном мире, без никакой связи с физическим миром. Платонисты считали существование этого мира объективным, точно как и существование физического мира. Среди обитателей этого мира можно назвать: интегралы, комплексные числа, матрицы, фракталы, функции и др.
...Сделаю ещё одно небольшое лирическое отступление. На одной из лекций преподаватель произнёс фразу: "это не та функция, которую вы можете встретить на улице". Естественно мы все засмеялись, т.к. всем известно, что функции по улицам не ходят, а если лектор встречает их на улице, то это говорит о проблемой с психикой самого лектора. Какие мы все невежды! (в скобках замечу, что я бы ожидал, чтобы поднятые в этой заметке философские вопросы обсуждались бы в соответствующих курсах). После смеха, естественно мы поняли, что он имел в виду - на практике (при измерениях, к примеру или при составлении физической теории), мы вряд ли будем использовать эту функцию. Однако, здесь всё несколько глубже. Эта функция "живёт" в платоновом мире идей. Однако, его населяют и другие функции, скажем, непрерывные. Несмотря на то, что "на улице" мы встречаем, обычно, достаточно "гладкие" функции (непрерывные, к примеру), мы должны знать, что в неком идеальном мире существуют и другие функции и поэтому несмотря на это мы должны знать и их (простой пример, обычно интегрируют на практике непрерывные функции, однако, ими не исчерпываются классы функции, у которых существует первообразная)...
Далее, идёт Архимед. В частности он доказал, что количество песчинок не бесконечно.
Его основной целью был ответ на вопрос:
а) Является ли количество песчинок бесконечным?
б) Если нет, является ли это (конечное) число настолько большим, что для него "не найдётся имени".
Так вот, Архимед доказал, что а) это число конечно и б) дал ему имя.
Его доказательство - конструктивное. По ходу дела, он изобретает элегантный способ, как давать имена большим числам (напомню, что десятичная система ещё не изобретена), он сомневается в истинности гелиоцентрической системы, ссылаясь на работу Аристарха (за 1800 лет до Коперника!). К слову, Архимед доказал, что количество песчинок во всём мире меньше чем 1063.
Мне это напомнило одно место в Торе (Библии), однако, изложение этого не укладывается в рамки этого поста, поэтому я это место выделил в отдельный пост Раши против Архимеда.
...При прочтении любой книги по геометрии Евклида (как и любой другой книги по математике), даже после того как полностью разобрался со всеми формулировками и доказательствами всех теорем, часто остаются загадкой как же формулировки этих теорем были получены, как знали, что именно нужно доказать. Часто формулировка теорем является более сложным занятием, чем поиск доказательства. В общем случае, ответа на этот вопрос нет, однако, применительно к Архимеду мы кое-что знаем...Возможно вы помните как в школе вы доказывали с помощью индукции разные тождества. Даже после формального доказательства лично меня не покидал вопрос, а как же эти тождества были найдены? Доказательства не давало ключа к ответу на этот вопрос. Иногда, эти тождества выводились из комбинаторных принципов, иногда путём интерполяции (подбора) полинома. Как я уже говорил выше, общего принципа нет... Архимед же использовал свои обширные знания в механике, в нахождении равновесия, в принципе рычага, он взвешивал тела, вкладывал тело в другое тело, объём которого он знал, чтобы оценить объём первого тела и т.п. То, что делал Архимед, гораздо позже, в XIX веке было дано имя на немецком Godankenexperiment - мысленный эксперимент...Лично у меня мысленный эксперимент ассоциируется с Эйнштейном и его теорией относительности...Это неудивительно, так как, как пишет автор книги, именно в физике этот подход стал наиболее продуктивным.
Возможно, более важным является то, что Архимед освободил математику от искусственный наручников, которые наложили Евклид и Платон. Они считали, что нужно начать с аксиом и делать из них выводы используя хорошо определённые инструменты. Более того, они считали, что иного способа заниматься математикой не существует. Свободолюбивый дух Архимеда использовал любой инструмент, который ему попадался под руку для того чтобы не только сформулировать, но и доказать теоремы. Он использовал связь математических абстрактных объектов (платонических объектов) с их физическими образами для этого.
Наконец, Архимед внёс существенный вклад в дифференциальное и интегральное исчисление. Основная цель дифференциального исчисления является поиск касательной к фигуре в данной точке. Архимед решил эту проблема в частном случае со спиралью. Ньютон и Лейбниц используют это позже в своих работах, для изобретения дифференциала функции (а ещё позже производной функции).
Основная цель интегрального исчисления - нахождения площади фигуры под графиком, вычислении определённого интеграла или интеграции. Основная идея следующая. Разбиваем искомую площадь на много маленьких прямоугольников. Площадь прямоугольника мы можем легко найти. Далее, мы просто суммируем эти площади. Тем больше прямоугольников, тем точнее значение мы получим. Автор книги, к моему изумлению, в неформальном описании этого процесса неосторожно использовал слово предел. Раз так, сразу же возникает масса вопросов. Первый, не понятно почему искомая площадь будет выражаться этим пределом? На самом деле, график функции описывается и вписывается в прямоугольники, т.е. он как бы "зажат" с двух сторон площадью, которая "чуть больше" и площадью, которая "чуть меньше" (таким образом "теорема сэндвича" aka "теорема двух полицейских" гарантирует это). Следующий вопрос, почему собственно такой предел существует? Далее, почему собственно мы делим на прямоугольники (это покрытие задаёт меру Жордана)? Быть может, если мы будем делить по-другому, мы получим другой ответ. (К счастью, например, мера Лебега, которая задаёт покрытие по-другому, является родолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, т.е. если интеграл по Жордану существует (и конечен), то интеграл по Лебегу существует (и конечен) и равен значению интеграла по Жордану)...Я впервые познакомился с этим на факультативном занятии по физике, где-то в классе 7-8. Все эти вопросы у меня возникли ещё тогда, особенно мне не давал покоя вопрос, почему именно прямоугольники и почему сумма площадей прямоугольников дают искомую площадь, мне это в лучшем случае казалось лишь приближением. Ответ на большинство вопросов я получил лишь в университете на курсе инфи-2 (материал про меру Лебега был исключен из курса, хотя ещё 10 лет до этого, по нему были вопросы на экзаменах)...
Далее, идёт Галилей. Галилей считается отцом современной науки. Именно он открыл, что математика является грамматикой (я бы сказал, языком) науки. Именно, благодаря ему, сегодня когда кто-то выдвигает какую-то физическую теорию, от него требуют математического аппарата и количественных предсказаний. Именно Галилей считал, что ученый должны заниматься исследованием самой природы, делая наблюдения и ставя эксперименты. До этого опирались на авторитет ученых или философов, таких как, к примеру, Аристотеля.
...Не могу в этом месте не рассказать история с восьмилапой мухой. В одном из трактатов Аристотеля утверждалось, что у мухи восемь ног. И вплоть до середины XVIII века все добросовестно зазубривали этот факт. Ошибка, разумеется, была замечена гораздо раньше, но долгое время ее не решались исправить. «Сегодня вы лапы у мухи оторвете, а завтра трон у короля отнимите!» — примерно так отвечали на все попытки редактировать Аристотеля. К сожалению, таких ученых тогда было большинство. Вот такая была сила авторитетов...
Галилей считал что мир перед нами это книга, в которой описаны законы природы. Языком этой книги является математика. Таким образом, Галилей считал, что бог действительно является математиком.
Далее, идёт Декарт. Именно ему мы обязаны "декартовой (aka прямоугольной aka картезианской) системе координат". В книге, он назвал первый современным (модерным) человек. Такую честь он получил за свой скептицизм. Он ставил под сомнение предшествующею схоластическую философской традиции, для него характерны скептицизм, рационализм. Декарт считал, что Бог параллельно с физическим миром создал математический, где находятся "вечные истины".
Более того, стремительное развитие науки стало мощным мотором в исследовании математики. Также, с помощью механики Ньютона такие абстрактные разделы математики как дифференциальное и интегральное исчисление (aka исчисление бесконечно-малых величин, aka инфи), стало сутью физических объяснений. И наконец, граница разделения между математикой и наукой был размыт до неузнаваемости, почти до полного слияния математический свойств в обширную область исследования.
Пожалуй, на этом буду закруглятся, я итак этот пост долго писал. Скажу лишь, что в книге есть ещё про статистику и теорию вероятности (ИМХО, трудно читаемая часть книги, не смотря на мои познания в этой области, зато помогает понять сущность критики Талеба в использовании её моделей, см. также моё мнение об этом). Автор книги говорит о том, что с помощью них мы находим причинно-следственные связи в случайных на первый взгляд явлений. Это идёт в разрез как с использованием вероятностей в квантовой физике, так и с использованием их Талебом, который считает, что причинно-следственные связи во многих случаях это плод работы нашего мозга, что объективно многие вещи случайны. Также рассматривается кризис в математике, когда были открыты неевклидовые геометрии (евклидова геометрия была неким "эталоном", да и потом, что это говорит об платоновом мире идей, какая из этих геометрия "верная", имеет ли последний вопрос вообще смысл), не обходит автор стороной и программу Гильберта (англ.) (если бы она была осуществлена эта бы стало бы победой платоников, однако, пришёл Гёдель и
Далее, автор приводит пример развития теории струн (рекомендую прочитать книгу Грин Брайан "Элегантная вселенная", а здесь можно найти моё отношение к ней) , как некоторая довольно эзотерическая теория в "чистой математике" вдруг пригодилась в совершенно неожиданном месте в физики, как физикам пришлось развивать очень абстрактные разделы математики для того чтобы продвинутся в построении физической теории.
Наконец, автор пытается дать свой ответ на поставленный вопрос. Кратко его можно сформулировать как немного "и того и другого...и можно без масла" (с) Вини Пух, т.е. математика является и изобретением человека и открытием "вечный истин".
No comments:
Post a Comment