О парадоксе Ахиллеса и черепахи

Saturday, March 27, 2010

О парадоксе Ахиллеса и черепахи

Этот пост родился из обсуждения поста Бесконечность - не число! блога http://my-tribune.blogspot.com/

Итак, сам парадокс.

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди на некотором расстоянии от него.

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха проползёт 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Ниже есть продолжение.

Пара предварительных замечаний.
Время, через которое Ахиллес догонит черепаху, можно записать таким рядом: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Начиная со второго члена мы имеем бесконечную геометрическую прогрессию, которая сходится. Однако она сходится "в пределе", т.е. за бесконечное количество шагов, однако на каждом конечном шаге, "построение суммы" не закачивается. На самом деле, бесконечность существует в двух формах: как бесконечность потенциальная и как бесконечность актуальная. В данном случае мы сталкивается с потенциальной бесконечностью. Рекомендую к прочтению статью О бесконечном.

Другой подход к решению задачи состоит в следующем. Обозначим, скорость Ахиллеса как $V_1$, скорость черепахи как $V_2$. По условию задачи $V_1=10V_2$. Обозначим расстояние, которое проходит Ахиллес $S_1$, расстояние, которая проходит черепаха $S_2$. По условию задачи $S_1=1+S_2$. Время которое двигаются Ахиллес и черепаха равно $t_1=t_2=t$, тогда, используя формулу $S=Vt$ получим

$S_1=1+S_2$
$S_1=V_1t=10V_2t$
$S_2=V_2t$

$10V_2t=V_2t+1$
$9V_2t=1$
$t=\frac{1}{9V_2}$ - где $V_2$ - скорость черепахи, есть время, когда Ахиллес догонит черепаху.

Здесь мы "обошли" парадокс. Мы не стали делить время на бесконечные интервалы и строить потенциальную бесконечность, мы воспользовались актуальной бесконечностью хоть и в неявном виде. Где же она кроется? В использовании формулы $S=Vt$...

Как известно, эта формула следует из определения скорости при равномерном движении. При равномерном движении скорость - это расстояние пройденное за единицу времени, т.е. $V=\frac{S}{t}$. Существенным является то, что за любую, в том числе сколь угодно малую (или сколь угодно большую), единицу времени.

Если же известна скорость V, то при равномерном движении по прошествии некоторого времени t тело пройдёт расстояние $S=Vt$. В качестве времени t можно взять любую сколь угодно малую величину. Поэтому получается, что расстояние S может принимать любое континуальное значение.

Т.е. формула $S=Vt$ предполагает бесконечноделимость пространства-времени, в этом смысле используется понятие актуальной бесконечности, а как нам известно из физики, это не так.

Если считать, что пространство-время квантово, то бесконечный ряд описанный в первом решении, который вытекает из самого парадокса, превращается в конечную сумму и это сумма "сходится" за конечное количество шагов и парадокс исчезает.

Если же иметь дело с физическим пространством-времени, то тогда парадокс остаётся в обоих случаях. Приведу цитату из википедии:

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому нельзя ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий.

Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают:

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи [Примечание: выделено мной], с другой:

[Понимание апорий состоит] в указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем все основания предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому как механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей… Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения (актуальной) бесконечности как данной посредством опыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, что бесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса.

Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкую точку зрения можно найти у Бурбаки:

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени. Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами Единой теории поля,— однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: «Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью».