Dangerous Knowledge
Dangerous Knowledge - Бесконечное множество и интуиция.Часть I
Dangerous Knowledge - Парадокс брадобрея. Часть II
Dangerous Knowledge - Диагональный метод доказательства Кантора. Часть III
Dangerous Knowledge - Континуум-гипотеза. Часть IV
Dangerous Knowledge - Аксиома выбора. Часть V
Dangerous Knowledge - Теория меры. Часть VI
Dangerous Knowledge - Тест Тьюринга. Часть VII
UPDATE 02-11-2010:
Прикоснуться к бесконечности (ВИДЕО)
END OF UPDATE
UPDATE 03-02-2011:
Ещё раз о бесконечности
Всегда ли часть строго меньше целого?
END OF UPDATE
UPDATE 29-09-2014:
Infinity: does it exist?
END OF UPDATE
Как я уже говорил, есть некоторые вещи, которые явно не раскрыты в этой доке. Здесь я опишу парадокс брадобрея (парикмахера). Он также известный как парадокс Рассела. Понимание этого парадокса важно для понимания того, почему все четверо занимались по-сути одним и тем же. Этот парадокс является "душой" "диагональный метода" доказательства, применённый впервые Кантором, а затем Гёделем и Тьюрингом. Та же самая идея лежит и в рисунках художника Эшера и в произведениях Баха. Рекомендую для прочтения книгу Хофштадтера Дугласа «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда», где он в частности подробно на этом останавливается. Перевод на русский можно найти тут. На английском эта книга называется «Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid» by Douglas Hofstadter.
Ниже есть продолжение.
Цитата:
Отметим еще одно положение: в канторовской теории никаких других объектов, кроме множеств, не существует. Таким образом, любой бесконечный объект, который нам встретится, заранее объявляется множеством. Эта установка канторовской теории на всеобъемлемость понятия актуально бесконечного множества потерпела крушение в 1902 г. в связи с рассмотрением такой естественной конструкции, как “множество всех множеств”. Ведь если множество всех множеств можно рассмотреть актуально, то можно рассмотреть и множество всех таких множеств, которые не являются элементами самих себя. Обозначим такое множество через Т. С удивлением замечаем, что, с одной стороны, должно быть ТОТ, а с другой (по самому определению множества Т) – ТПТ (парадокс Рассела) [8].
Этот парадокс, который был известен и самому Кантору, указывает на природу актуально бесконечных совокупностей. Некоторые из них мы можем помыслить без противоречий как множества, а представить себе совокупность всех таких множеств как множество мы не можем. Заметим, что уже в этом месте можно было бы обнаружить, что “множество всех множеств” является нечетко заданной совокупностью.
* 8. См.: Клини С.К.. Введение в метаматематику. – М., 1957. – С.40.
"О Бесконечном"
Этот парадокс критически важен для понимание взаимосвязей. Несмотря на то, что приведённая выше цитата полностью раскрывает его я всё же приводу ещё несколько вариаций на ту же тему.
Парадокс брадобрея. Быть может понять этот парадокс проще, если рассмотреть его следующие вариацию. В некотором городишке жил был брадобрей, который однажды взял да и сказал "я брею всех тех и только тех, кто не бреется сам". Вроде бы логично. Если человек бреется сам, зачем ему идти к брадобрею. Тот кто сам не бреется, должен пользоваться его услугами (будем считать, что никто не бритым не ходит). Дела у этого брадобрея шли замечательно, пока какой-то мальчишка его не спросил или он бреется сам. При этом этот гадкий мальчишка напомнил ему, его обещание "брить тех и только тех, кто не бреется сам".
Оказалось, что брадобрей не может дать ответа на этот вопрос. В самом деле, если он бреет сам себя, то так как он в частности "бреет всех тех, кто не бреется сам", он должен не брить сам себя. С другой стороны, если он не бреется сам, то так как не бритым никто не ходит он должен пойти к брадобрею, а брадобрей сказал, в частности "если человек не бреется сам, то я его побрею". Т.е. брадобрей (он сам) должен его побрить. Противоречие.
Рассмотрим другой пример. Мы нашли записку в которой сказано: "Это утверждение ложно" Спрашивается, истинно или ложно это утверждение. Допустим, что это утверждение истинно, т.е. она говорит правду. Но т.к. оно говорит о том, что оно ложно получается, что оно ложно. Допустим, что это утверждение ложно. Т.е. оно говорит нам не правду. А что оно нам говорит? Что оно ложно. Но ведь это правда. Опять противоречие...
Казалось бы, что общего между "множествами всех множеств", парадоксом брадобрея и этой сумасшедшей запиской. И главное, как это влияет на работу Кантора.
Если внимательно присмотреться, окажется, что во всех трёх парадоксах имеет место self-reference или "ссылка на самого себя". Особенно отчётливо это видно в примере записке, где записка делает утверждение о самой себе. В случае брадобрея, оказывается, что "все" определенно слишком расширительно, т.к. включает его самого и это приводит к противоречиям. В случае "множестве всех множеств" полученный объект это множество и значит он входит во "множество всех множеств".
Этот парадокс в теории множеств был разрешён тем, что некоторые конструкции были попросту запрещены. Для обзора подробностей см. ссылку "О Бесконечном" Тем самым эта группа парадоксов была разрешена. Однако, никто не гарантирует наличие иных ещё не открытых парадоксов. Более того, работа Гёделя гарантирует, что они есть.
Есть и иной аспект этой проблемы. "Ссылка на самого себя" была применена Кантором в его "диагональный методе" доказательства. Кантор по сути изобрел новый способ доказательства теорем в математике. Более того, применяя именно этот способ Гёдель и Тьюринг доказали свои теоремы.
No comments:
Post a Comment